Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral1-x^1+x(2 x-3 y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada aí:
integral0^1 integral1-x^1+x(2 x - 3 y^2) dy , dx
Estamos no assunto de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais duplas. O que precisamos fazer aqui é integrar a função 2x - 3y^2 primeiro em relação a y e depois em relação a x, seguindo os limites que foram dados.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a y. Isso significa que, para cada valor de x, vamos integrar 2x - 3y^2 de y = 1 - x até y = 1 + x.
A integral de 2x - 3y^2 em relação a y é:
integral (2x - 3y^2) dy = 2x y - y^3 + C

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração de y:
[2x y - y^3]1 - x^1 + x = (2x(1 + x) - (1 + x)^3) - (2x(1 - x) - (1 - x)^3)
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, expandimos os termos:
2x(1 + x) = 2x + 2x^2
(1 + x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3
2x(1 - x) = 2x - 2x^2
(1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3

Passo 5

Substituímos de volta na expressão:
(2x + 2x^2 - (1 + 3x + 3x^2 + x^3)) - (2x - 2x^2 - (1 - 3x + 3x^2 - x^3))
Vamos simplificar cada parte:
Para a primeira parte:
2x + 2x^2 - 1 - 3x - 3x^2 - x^3 = (-x^3) - x^2 - x - 1
Para a segunda parte:
2x - 2x^2 - 1 + 3x - 3x^2 + x^3 = x^3 - 5x^2 + 5x - 1

Passo 6

Agora, subtraímos as duas partes:
(-x^3 - x^2 - x - 1) - (x^3 - 5x^2 + 5x - 1) = -x^3 - x^2 - x - 1 - x^3 + 5x^2 - 5x + 1
Simplificando:
-2x^3 + 4x^2 - 6x

Passo 7

Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 (-2x^3 + 4x^2 - 6x) dx
Vamos integrar termo a termo:
integral (-2x^3) dx = -24x^4 = -12x^4
integral 4x^2 dx = 43x^3
integral (-6x) dx = -3x^2

Passo 8

Juntando tudo, a antiderivada é:
-12x^4 + 43x^3 - 3x^2 + C
Aplicamos os limites de 0 a 1:
(-12(1)^4 + 43(1)^3 - 3(1)^2) - (-12(0)^4 + 43(0)^3 - 3(0)^2)
Simplificando:
-12 + 43 - 3 - (0) = -12 + 43 - 3

Passo 9

Vamos converter tudo para ter o mesmo denominador, que é 6:
-36 + 86 - 186 = -3 + 8 - 186 = -136

Resposta

O valor da integral iterada é -dfrac136.

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