Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada aí:
Estamos no assunto de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais duplas. O que precisamos fazer aqui é integrar a função
primeiro em relação a
e depois em relação a
, seguindo os limites que foram dados.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
. Isso significa que, para cada valor de
, vamos integrar
de
até
.
A integral de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, aplicamos os limites de integração de
:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, expandimos os termos:
Passo 5
Substituímos de volta na expressão:
Vamos simplificar cada parte:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Passo 6
Agora, subtraímos as duas partes:
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a
de 0 a 1:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Juntando tudo, a antiderivada é:
Aplicamos os limites de 0 a 1:
Simplificando:
Passo 9
Vamos converter tudo para ter o mesmo denominador, que é 6:
Resposta
O valor da integral iterada é
.