Calcule a integral dupla.
é delimitada
Passo 1
Beleza, a gente quer calcular a integral dupla
,
onde é a região no plano limitada por
,
e
.
O assunto aqui é Integrais Duplas (ou seja, somar “alturas” de sobre uma região no plano), e o que precisamos é:
onde
O assunto aqui é Integrais Duplas (ou seja, somar “alturas” de
- Desenhar/entender a região
. - Escolher uma ordem de integração (iterada).
- Integrar passo a passo usando regras de integrais de exponencial.
Passo 2
Primeiro, visualiza a região
: é um triângulo com vértices em
,
e
.
- A reta
é o eixo . - A reta
é a linha diagonal. - A reta
é a vertical.
Se a gente fixar um valor deentre e , o vai de até .
Logo, dá pra escrever a integral iterada como
Passo 3
Agora, integra em
primeiro.
Dentro, é tratado como constante, então
Dentro,
(usei
).
A integral , então
A integral
Passo 4
Fica então
Agora é regra básica de exponencial:
-
, -
.
Assim,
E como
, esse último parêntese é
.