Calcule a integral dupla.
integral duplaD e^x+y d A, D é delimitada y=0, y=x, x=1

Passo 1

Beleza, a gente quer calcular a integral dupla
integral duplaD e^x+y,dA,
onde D é a região no plano limitada por y=0, y=x e x=1.
O assunto aqui é Integrais Duplas (ou seja, somar “alturas” de e^x+y sobre uma região no plano), e o que precisamos é:
  1. Desenhar/entender a região D.
  2. Escolher uma ordem de integração (iterada).
  3. Integrar passo a passo usando regras de integrais de exponencial.

Passo 2

Primeiro, visualiza a região D: é um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1).
  • A reta y=0 é o eixo x.
  • A reta y=x é a linha diagonal.
  • A reta x=1 é a vertical.
    Se a gente fixar um valor de x entre 0 e 1, o y vai de 0 até x.
    Logo, dá pra escrever a integral iterada como
integral duplaD e^x+y,dA = integralx=0^1 l(integraly=0^x e^x+y,dyr),dx

Passo 3

Agora, integra em y primeiro.
Dentro, x é tratado como constante, então
integraly=0^x e^x+y,dy = e^xintegraly=0^x e^y,dy
(usei ,e^x+y=e^xcdot e^y).
A integral integral e^y,dy = e^y, então
e^xl[e^yr]0^x = e^xl(e^x-e^0r) = e^x(e^x-1) = e^2x-e^x

Passo 4

Fica então
integral duplaD e^x+y,dA = integral0^1l(e^2x-e^xr),dx
Agora é regra básica de exponencial:
  • integral e^2x,dx = tfrac12 e^2x,
  • integral e^x,dx = e^x.
    Assim,
integral0^1l(e^2x-e^xr),dx = l[tfrac12 e^2x-e^xr]0^1 = l(tfrac12 e^2-er);-;l(tfrac12 e^0-e^0r)
E como e^0=1, esse último parêntese é tfrac12 -1 = -tfrac12.

Resposta

integral duplaD e^x+y,dA = 12 e^2 - e + 12

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