Sejam as retas
r:cx=2+3 t y=4+5 t z=m t e s:ly=2 x+1 z=x2-32
a) calcular o valor de m para que r e s sejam coplanares.
b) Determinar, para o valor achado de m, o ponto de interseção de r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em e
definida pelas interseções dos planos
e .
Queremos (a) o valor de para que e sejam coplanares e (b) o ponto de interseção quando esse for usado. Para isso vamos usar a condição de coplanaridade de duas direções e um vetor de conexão (produto misto ) e depois resolver as equações simultâneas para encontrar o ponto comum.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores e um vetor que liga um ponto de r a um ponto de s:
Um ponto de r para t=0 é P=(2,4,0).
Para escrever s em forma paramétrica, toma-se como parâmetro lambda tal que
x=lambda, y=2lambda+1, z=tfraclambda2-tfrac32
Para lambda=0 um ponto de s é Q=(0,1,-tfrac32).
Então
vr=(3,5,m), vs=l(1,2,tfrac12r), PQ=Q-P=(-2,-3,-tfrac32)

Passo 3

Duas retas são coplanares se e somente se o produto misto
[ vr, vs,PQ] =l( vrtimes vsr)cdotPQ
for zero. Vamos calcular vrtimes vs e depois o escalar:
vrtimes vs =l(5cdottfrac12 - mcdot 2,;mcdot1 -3cdottfrac12,;3cdot2-5cdot1r) =l(tfrac52-2m,;m-tfrac32,;1r)
Agora o escalar com PQ=(-2,-3,-tfrac32):
(tfrac52-2m)(-2)+(m-tfrac32)(-3)+1cdot(-tfrac32) =-5+4m-3m+tfrac92-tfrac32 =m-2
A condição de coplanaridade pede m-2=0.

Passo 4

Logo
m=2

Passo 5

Com m=2, o paramétrico de r é
;x=2+3t,;y=4+5t,;z=2t.\n
Para a reta s mantemos
;x=lambda,;y=2lambda+1,;z=tfraclambda2-tfrac32.\n
Para o ponto de interseção igualamos coordenadas:
1. x!:;lambda=2+3t 2. y!:;2lambda+1=4+5t
Da primeira lambda=2+3t. Substituindo em y:
2(2+3t)+1=4+5t ;Longrightarrow;4+6t+1=4+5t ;Longrightarrow;5+6t=4+5t ;Longrightarrow;t=-1
Então lambda=2+3(-1)=-1. Verificamos o z:
zr=2t=2(-1)=-2, zs=-12-32=-2,
coerente. O ponto é obtido em t=-1 (ou lambda=-1).

Resposta

a) m=2
b) O ponto de interseção é ,(-1,-1,-2).

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