Calcule a integral dupla.
\iint_{R} x y e^{v} d t, \quad R={(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1}
\iint_{R} x y e^{v} d t, \quad R={(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1}
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra calcular uma integral dupla sobre a região
da função
.
Isso cai em “Integrais Duplas” e a gente vai precisar:
Isso cai em “Integrais Duplas” e a gente vai precisar:
- Escolher uma ordem de integração (aqui a gente faz
primeiro, depois ). - Saber integrar em uma variável só, usando, se precisar, integração por partes para
.
Passo 2
Escrevendo a integral dupla explicitamente na ordem
, fica:
Como
é constante em relação a
, posso tirar
para fora da integral interna:
Passo 3
Bora calcular
.
Usamos integração por partes:
Usamos integração por partes:
- Escolho
⇒ . - E
⇒ .
Então
Agora avaliamos de
a
:
Passo 4
Voltando pra integral em
, isso vira
Resposta
O valor da integral dupla é
.