Calcule a integral dupla.
\iint_{R} x y e^{v} d t, \quad R={(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1}

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular uma integral dupla sobre a região
R=(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<=1
da função f(x,y)=x,y,e^y.
Isso cai em “Integrais Duplas” e a gente vai precisar:
  1. Escolher uma ordem de integração (aqui a gente faz y primeiro, depois x).
  2. Saber integrar em uma variável só, usando, se precisar, integração por partes para integral y,e^y,dy.

Passo 2

Escrevendo a integral dupla explicitamente na ordem dy,dx, fica:
integral duplaR x,y,e^y ,dA ;=; integralx=0^2!l(integraly=0^1 x,y,e^y ,dyr),dx
Como x é constante em relação a y, posso tirar x para fora da integral interna:
integral0^2 x;l[integral0^1 y,e^y,dyr],dx

Passo 3

Bora calcular integral0^1 y,e^y,dy.
Usamos integração por partes:
  • Escolho u=y du=dy.
  • E dv=e^y,dy v=e^y.
    Então
integral y,e^y,dy = y,e^y - integral 1cdot e^y,dy = y,e^y - e^y + C
Agora avaliamos de 0 a 1:
l[y,e^y - e^yr]0^1 = l(1cdot e^1 - e^1r) - l(0cdot e^0 - e^0r) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1

Passo 4

Voltando pra integral em x, isso vira
integral0^2 x cdot 1 ,dx = integral0^2 x,dx = l[tfracx^22r]0^2 = tfrac2^22 - 0 = 2

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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