Calcule a integral dupla e desenhe a região de integração:
é delimitada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do plano limitada pelas curvas
Este é um problema de integração em coordenadas cartesianas: primeiro vamos encontrar os limites de integração (os pontos de interseção das curvas), montar o integral iterado e só então calcular passo a passo.
Passo 2
Encontrar os pontos em que as duas curvas se intersectam resolvendo
Isso leva a
Logo, os valores de
na região variam de
até
.
Passo 3
Para cada
, o
varia da parábola à esquerda
até a parábola à direita
. Assim o integral fica
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Passamos então a integral em
:
Passo 5
Observar que o integrando é função par de
, logo
Calculando
Passo 6
Para desenhar
, note que
-
é uma parábola voltada para a direita com vértice na origem. -
é uma parábola voltada para a esquerda com vértice em .
Elas se cruzam eme . A região é a “lente” compreendida entre essas duas curvas para , sombreada no plano .