Calcule a integral dupla e desenhe a região de integração:
integral duplaD(y^2-x) d A, D é delimitada por x=y^2, x=3-2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD(y^2-x),dA
onde D é a região do plano limitada pelas curvas
x=y^2 e x=3-2y^2
Este é um problema de integração em coordenadas cartesianas: primeiro vamos encontrar os limites de integração (os pontos de interseção das curvas), montar o integral iterado e só então calcular passo a passo.

Passo 2

Encontrar os pontos em que as duas curvas se intersectam resolvendo
y^2=3-2y^2
Isso leva a
3y^2=3 Longrightarrow y^2=1 Longrightarrow y=pm1
Logo, os valores de y na região variam de -1 até 1.

Passo 3

Para cada yin[-1,1], o x varia da parábola à esquerda x=y^2 até a parábola à direita x=3-2y^2. Assim o integral fica
integral duplaD(y^2-x),dA =integraly=-1^1l[integralx=y^2^,3-2y^2!(y^2-x),dxr]dy

Passo 4

Calcular a integral interna em x:
integralx=y^2^3-2y^2(y^2-x),dx =[y^2x-x^22]x=y^2^x=3-2y^2 =9y^2-92y^4-92
Passamos então a integral em y:
integral duplaD(y^2-x),dA =integral-1^1l(9y^2-92y^4-92r)dy

Passo 5

Observar que o integrando é função par de y, logo
integral-1^1l(9y^2-92y^4-92r)dy =2integral0^1l(9y^2-92y^4-92r)dy
Calculando
2l[3y^3-910y^5-92yr]0^1 =2l(3-910-92r) =2l(-125r) =-245

Passo 6

Para desenhar D, note que
  • x=y^2 é uma parábola voltada para a direita com vértice na origem.
  • x=3-2y^2 é uma parábola voltada para a esquerda com vértice em (3,0).
    Elas se cruzam em (1,1) e (1,-1). A região D é a “lente” compreendida entre essas duas curvas para -1<= y<=1, sombreada no plano xy.

Resposta

-245

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