Calcule a integral dupla e desenhe a região de integração:
integral duplaD y e^x d A,
D é a região triangular com vértice (0,0),(2,4) e (6,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD y,e^x,dA
onde D é o triângulo de vértices (0,0), (2,4) e (6,0).
O conteúdo que vamos usar inclui: descrição da região de integração no plano xy, escolha de ordem de integração, cálculo de integral iterada e uso de integração por partes e mudança de variável.

Passo 2

Vamos entender a forma de e )},\ y=6 - x\quad(reta que passa por e ). \end{cases}]
Em um esboço ASCII, fica assim:
  (\(2,4\))
    /\
   /  \\
  /    \\
( )------( )
Ou seja, é o triângulo limitado pelo eixo (onde ) e pelas retas e .

Passo 3

Escolhemos integrar primeiro em x e depois em y. Para cada y fixo de 0 a 4, x varia da reta à esquerda ( x=y/2) até a reta à direita ( x=6-y). Logo,
integral duplaD y,e^x,dA =integraly=0^4integralx=y/2^6-yy,e^x,dx,dy

Passo 4

Calculemos a integral interna em x:
integralx=y/2^6-yy,e^x,dx =yl[e^xr]x=y/2^6-y =yl(e^6-y-e^y/2r)
Assim a integral se reduz a
integral0^4yl(e^6-y-e^y/2r),dy

Passo 5

Separemos em duas integrais:
I1=integral0^4y,e^6-y,dy, I2=integral0^4y,e^y/2,dy,
e calculamos uma a uma.
Cálculo de I1:
I1 =e^6integral0^4y,e^-y,dy
Para integral0^4y,e^-ydy usamos partes ( u=y, dv=e^-ydy):
integral0^4y,e^-ydy =l[-y,e^-yr]0^4+integral0^4e^-ydy =-4e^-4+l[-e^-yr]0^4 =-4e^-4-e^-4+1 =1-5e^-4
Logo
I1 =e^6(1-5e^-4) =e^6-5e^2
Cálculo de I2:
Façamos t=y/2, então y=2t, dy=2,dt, y=0to t=0, y=4to t=2:
I2 =integral0^4y,e^y/2dy =4integral0^2t,e^tdt
Integramos por partes ( u=t, dv=e^t dt):
integral0^2t,e^tdt =l[t,e^t-e^tr]0^2 =e^2(2-1)-l(0-1r) =e^2+1
Então
I2=4(e^2+1)=4e^2+4

Passo 6

Voltando à integral original,
integral duplaD y,e^x,dA =I1-I2 =(e^6-5e^2)-(4e^2+4) =e^6-9e^2-4

Resposta

integral duplaDy,e^x,dA = e^6-9e^2-4

Exercícios relacionados