Calcule a integral dupla e desenhe a região de integração:
,
é a região triangular com vértice
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o triângulo de vértices
,
e
.
O conteúdo que vamos usar inclui: descrição da região de integração no plano , escolha de ordem de integração, cálculo de integral iterada e uso de integração por partes e mudança de variável.
O conteúdo que vamos usar inclui: descrição da região de integração no plano
Passo 2
Vamos entender a forma de e
)},\ y=6 - x\quad(reta que passa por
e
). \end{cases}]
Em um esboço ASCII, fica assim:
(\(2,4\))
/\
/ \\
/ \\
(
)------(
)
Ou seja,
é o triângulo limitado pelo eixo
(onde
) e pelas retas
e
.
Passo 3
Escolhemos integrar primeiro em
e depois em
. Para cada
fixo de
a
,
varia da reta à esquerda (
) até a reta à direita (
). Logo,
Passo 4
Calculemos a integral interna em
:
Assim a integral se reduz a
Passo 5
Separemos em duas integrais:
e calculamos uma a uma.
Cálculo de
:
Para
usamos partes (
,
):
Logo
Cálculo de
:
Façamos , então
,
,
,
:
Façamos
Integramos por partes (
,
):
Então
Passo 6
Voltando à integral original,