Determine a curva no plano que passa pelo ponto (1,1+e) e cuja inclinação em cada ponto (x, y) é igual a
2-yx+e^xx.

Passo 1

O enunciado pede a curva cujo declive em cada ponto satisfaz y'=2-yx+e^xx e que passa por (1,1+e). Esse é um problema de equação diferencial linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão y'+P(x)y=Q(x). Aqui temos
y'+1x,y=2+e^xx

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral1x,dx=x

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(x) e reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto:
$$(x,y)

Passo 5

x,y’+y=2x+e^x.$$

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
x,y=integral(2x+e^x),dx=x^2+e^x+C

Passo 7

Isolamos y:
y=x+e^xx+Cx

Passo 8

Usando a condição inicial y(1)=1+e obtemos
1+e=1+e+Cimplies C=0

Resposta

A solução é y(x)=x+\frac{e^x}{x}.

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