Determine a curva no plano que passa pelo ponto
e cuja inclinação em cada ponto
é igual a
.
Passo 1
O enunciado pede a curva cujo declive em cada ponto satisfaz
e que passa por
. Esse é um problema de equação diferencial linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Colocamos a EDO na forma padrão
. Aqui temos
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a equação por
e reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto:
$$(x,y)
Passo 5
x,y’+y=2x+e^x.$$
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 7
Isolamos
:
Passo 8
Usando a condição inicial
obtemos
Resposta
A solução é y(x)=x+\frac{e^x}{x}.