Calcule a integral dupla nos exercícios de 10-15, sobre a região correspondente. \iint_{R} \frac{1+x^{2}}{1+y^{2}} d A, R=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leq x \leq \pi e 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}\right.\right\} \quad Resp.: \frac{\pi}{3}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\,dA.
O enunciado original apresenta R escrito de forma ambígua, e a resposta fornecida é \pi/3. Para que a conta resulte em \pi/3, vou assumir que a região R é o quadrado unitário
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1\}.
Trabalharei com essa hipótese (se R fosse outra, a integral e o resultado mudariam).
Passo 2
Observação importante (ferramenta que vamos usar): se a função integranda é o produto de uma função que depende só de x por outra que depende só de y, e R é um retângulo, então a integral dupla se separa em produto de integrais simples. Isso vem do Teorema de Fubini para retângulos e continuidade.
Usamos a regra de potência: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. Assim a primitiva de 1 é x e a primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Logo
Conhecemos que a derivada da função \arctan y é \dfrac{d}{dy}(\arctan y)=\dfrac{1}{1+y^{2}}. Portanto uma primitiva de \dfrac{1}{1+y^{2}} é \arctan y. Assim
Portanto, com a hipótese de que R é o quadrado unitário [0,1]\times[0,1], a integral dupla vale \dfrac{\pi}{3}. Se o retângulo R fosse diferente, o procedimento (separar em produto de integrais) continua válido quando R for retangular, bastando trocar os limites; o valor numérico mudaria conforme os limites.