Calcule a integral dupla nos exercícios de 10-15, sobre a região correspondente.
\iint_{R} \frac{1+x^{2}}{1+y^{2}} d A, R=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leq x \leq \pi e 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}\right.\right\} \quad Resp.: \frac{\pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\,dA.
O enunciado original apresenta R escrito de forma ambígua, e a resposta fornecida é \pi/3. Para que a conta resulte em \pi/3, vou assumir que a região R é o quadrado unitário
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1\}.
Trabalharei com essa hipótese (se R fosse outra, a integral e o resultado mudariam).

Passo 2

Observação importante (ferramenta que vamos usar): se a função integranda é o produto de uma função que depende só de x por outra que depende só de y, e R é um retângulo, então a integral dupla se separa em produto de integrais simples. Isso vem do Teorema de Fubini para retângulos e continuidade.
Mais precisamente, se
f(x,y)=g(x)\,h(y)
e R=[a,b]\times[c,d], então
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\left(\int_{a}^{b} g(x)\,dx\right)\left(\int_{c}^{d} h(y)\,dy\right).
Aqui nossa função é f(x,y)=\dfrac{1+x^{2}}{1+y^{2}}=g(x)\,h(y) com
g(x)=1+x^{2},\qquad h(y)=\frac{1}{1+y^{2}}.
Portanto,
\iint_{R}\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\,dA = \left(\int_{0}^{1}(1+x^{2})\,dx\right)\!\left(\int_{0}^{1}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy\right).

Passo 3

Calculemos a integral em x:
\int_{0}^{1}(1+x^{2})\,dx.
Usamos a regra de potência: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. Assim a primitiva de 1 é x e a primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Logo
\int_{0}^{1}(1+x^{2})\,dx=\Bigl[x+\frac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \left(1+\frac{1^{3}}{3}\right)-\left(0+\frac{0^{3}}{3}\right) =1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 4

Agora a integral em y:
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy.
Conhecemos que a derivada da função \arctan y é \dfrac{d}{dy}(\arctan y)=\dfrac{1}{1+y^{2}}. Portanto uma primitiva de \dfrac{1}{1+y^{2}} é \arctan y. Assim
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy=\bigl[\arctan y\bigr]_{0}^{1}=\arctan(1)-\arctan(0).
Sabemos que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} e \arctan(0)=0, logo
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy=\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Multiplicando os resultados das integrais separadas, obtemos a integral dupla:
\iint_{R}\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\,dA = \left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{4}{3}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}.

Passo 6

Portanto, com a hipótese de que R é o quadrado unitário [0,1]\times[0,1], a integral dupla vale \dfrac{\pi}{3}. Se o retângulo R fosse diferente, o procedimento (separar em produto de integrais) continua válido quando R for retangular, bastando trocar os limites; o valor numérico mudaria conforme os limites.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}

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