Calcule a integral dupla nos exercícios de 10-15, sobre a região correspondente.
\iint_{D} \frac{2 y}{x^{2}+1} d A, D=\{(x, y) \mid-2 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq \sqrt{x}\} \quad Resp.: \frac{1}{2}(\ln 2-\ln 5)

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que a questão dá e pede):\n
Temos que calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{2y}{x^{2}+1}\,dA
sobre a região
D=\{(x,y)\mid -2\le x\le 1 \text{ e } 0\le y\le \sqrt{x}\}.
Pergunta: calcular o valor numérico dessa integral dupla.\n
Observação importante (extraída do próprio enunciado): a desigualdade 0\le y\le \sqrt{x} exige que \sqrt{x} seja um número real e não negativo, portanto só existem pontos (x,y) com 0\le y\le\sqrt{x} quando x\ge 0. Assim, apesar do enunciado escrever -2\le x\le 1, a condição 0\le y\le\sqrt{x} faz com que a parte do intervalo com x<0 não contribua para a região (não há y que satisfaça 0\le y\le\sqrt{x} se x<0). Logo, a região efetiva de integração é
0\le x\le 1,\quad 0\le y\le \sqrt{x}.

Passo 2

Escolha da ordem de integração e justificativa (sem fórmulas complicadas):\n
Como o enunciado já deu os limites em termos de x e y (um limite superior para y dado por \sqrt{x}), é natural integrar primeiro em y (variável interior) e depois em x (variável exterior). Isso usa a propriedade de integração iterada (Teorema de Fubini) que diz, intuitivamente, que para uma função contínua numa região simples podemos integrar por etapas: primeiro em y mantendo x fixo, depois em x. Aqui a função \dfrac{2y}{x^2+1} é contínua na região D (quando x\ge0), então podemos fazer isso sem problema.

Passo 3

Integrando em y (passo a passo, explicando cada operação):\n
Ao integrar em y tratando x como constante, temos a integral interior
\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{2y}{x^{2}+1}\,dy.
Como x é constante nessa integral, podemos tirar 1/(x^{2}+1) para fora:
\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{2y}{x^{2}+1}\,dy = \frac{1}{x^{2}+1}\int_{0}^{\sqrt{x}} 2y\,dy.
Agora \int 2y\,dy é uma integral elementar: a primitiva de 2y é y^{2} (porque \frac{d}{dy}(y^{2})=2y). Portanto
\int_{0}^{\sqrt{x}} 2y\,dy = \left[y^{2}\right]_{0}^{\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^{2}-0 = x.
Substituindo de volta:
\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{2y}{x^{2}+1}\,dy = \frac{x}{x^{2}+1}.
Comentário didático: a ideia foi simples — ao integrar em y a expressão \frac{2y}{x^{2}+1} vemos que o denominador não depende de y, então é constante para essa integração; a parte em y é 2y, cuja primitiva é y^{2}.

Passo 4

Integrando em x (substituição e explicação detalhada):\n
Agora a integral dupla reduz-se à integral simples em x:
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Para resolver \int \dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx usamos uma substituição padrão: seja
u = x^{2}+1.
Então
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Também trocamos os limites: quando x=0 temos u=0^{2}+1=1; quando x=1 temos u=1^{2}+1=2. Assim a integral vira
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \int_{u=1}^{u=2} \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} \frac{1}{u}\,du.
A primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln u (logaritmo natural). Portanto
\frac{1}{2}\int_{1}^{2} \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\left[\ln u\right]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\big(\ln 2 - \ln 1\big).
Como \ln 1 = 0, obtemos
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln 2.
Comentário didático: a substituição u=x^{2}+1 é muito comum quando o numerador é proporcional à derivada do denominador (aqui x é proporcional a (x^{2}+1)'); isso transforma uma fração racional em uma integral de 1/u, cuja primitiva é \ln u.

Passo 5

Conclusão final e verificação rápida:\n
Reunindo tudo, a integral dupla vale
\iint_{D} \frac{2y}{x^{2}+1}\,dA = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{2y}{x^{2}+1}\,dy\right)dx = \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln 2.
Checagem rápida da consistência: o resultado é positivo (o integrando é não-negativo na região), e a manipulação por substituição não tem armadilhas. Tudo está coerente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln 2

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