Calcule a integral dupla nos exercícios de
, sobre a região correspondente.
Resp.:
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que a questão dá e pede):\n
Temos que calcular a integral dupla
Temos que calcular a integral dupla
sobre a região
Pergunta: calcular o valor numérico dessa integral dupla.\n
Observação importante (extraída do próprio enunciado): a desigualdade exige que
seja um número real e não negativo, portanto só existem pontos
com
quando
. Assim, apesar do enunciado escrever
, a condição
faz com que a parte do intervalo com
não contribua para a região (não há
que satisfaça
se
). Logo, a região efetiva de integração é
Observação importante (extraída do próprio enunciado): a desigualdade
Passo 2
Escolha da ordem de integração e justificativa (sem fórmulas complicadas):\n
Como o enunciado já deu os limites em termos de e
(um limite superior para
dado por
), é natural integrar primeiro em
(variável interior) e depois em
(variável exterior). Isso usa a propriedade de integração iterada (Teorema de Fubini) que diz, intuitivamente, que para uma função contínua numa região simples podemos integrar por etapas: primeiro em
mantendo
fixo, depois em
. Aqui a função
é contínua na região
(quando
), então podemos fazer isso sem problema.
Como o enunciado já deu os limites em termos de
Passo 3
Integrando em
(passo a passo, explicando cada operação):\n
Ao integrar em tratando
como constante, temos a integral interior
Ao integrar em
Como
é constante nessa integral, podemos tirar
para fora:
Agora
é uma integral elementar: a primitiva de
é
(porque
). Portanto
Substituindo de volta:
Comentário didático: a ideia foi simples — ao integrar em
a expressão
vemos que o denominador não depende de
, então é constante para essa integração; a parte em
é
, cuja primitiva é
.
Passo 4
Integrando em
(substituição e explicação detalhada):\n
Agora a integral dupla reduz-se à integral simples em :
Agora a integral dupla reduz-se à integral simples em
Para resolver
usamos uma substituição padrão: seja
Então
Também trocamos os limites: quando
temos
; quando
temos
. Assim a integral vira
A primitiva de
é
(logaritmo natural). Portanto
Como
, obtemos
Comentário didático: a substituição
é muito comum quando o numerador é proporcional à derivada do denominador (aqui
é proporcional a
); isso transforma uma fração racional em uma integral de
, cuja primitiva é
.
Passo 5
Conclusão final e verificação rápida:\n
Reunindo tudo, a integral dupla vale
Reunindo tudo, a integral dupla vale
Checagem rápida da consistência: o resultado é positivo (o integrando é não-negativo na região), e a manipulação por substituição não tem armadilhas. Tudo está coerente.