Questão 9 - Duas ondas transversais se propagam em uma corda de extremidades fixas e comprimento L=\frac{6 \pi}{k}, sendo descritas pelas funções y_{1}=A \cos (k x-\omega t) e y_{2}= A \cos (k x+\omega t) onde x é posição de um ponto na corda e t é o tempo. A interferência entre essas duas ondas gera
a) uma interferência destrutiva ao longo de toda corda.
b) uma onda estacionária, dada por y=2 A \cos (k x) \cos (\omega t).
c) uma interferência construtiva ao longo de toda a corda, dada por y=2 A \cos (k x).
d) nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas transversais que se propagam numa corda de comprimento \displaystyle L=\frac{6\pi}{k} e com extremidades fixas. As formas das ondas são:
y_{1}=A\cos(kx-\omega t)
y_{2}=A\cos(kx+\omega t)
A pergunta é escolher qual alternativa está correta entre:
a) interferência destrutiva ao longo de toda a corda;
b) uma onda estacionária, dada por \displaystyle y=2A\cos(kx)\cos(\omega t);
c) interferência construtiva ao longo de toda a corda, dada por \displaystyle y=2A\cos(kx);
d) nenhuma das alternativas acima.
Informações relevantes listadas: as expressões de y_1 e y_2; o comprimento da corda L=\frac{6\pi}{k}; as extremidades são fixas. Não vamos resolver ainda, só organizamos o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos somar as duas ondas (princípio da superposição). Escrevo a soma:
y=y_{1}+y_{2}=A\cos(kx-\omega t)+A\cos(kx+\omega t).
Para somar duas cossenos, usamos a identidade trigonométrica (soma de cossenos):
\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).
Aqui \alpha=kx-\omega t e \beta=kx+\omega t. Aplicando a identidade:

Passo 3

Calculemos os meios:
\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{(kx-\omega t)+(kx+\omega t)}{2}=\frac{2kx}{2}=kx,
\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{(kx-\omega t)-(kx+\omega t)}{2}=\frac{-2\omega t}{2}=-\omega t.
Como \cos(-\omega t)=\cos(\omega t), a soma fica
y= A\big(\cos\alpha+\cos\beta\big)=2A\cos(kx)\cos(\omega t).
Portanto a expressão da onda resultante é
\boxed{y=2A\cos(kx)\cos(\omega t).}
Explicação didática: a identidade transforma a soma de duas ondas viajantes de mesma amplitude e frequências/opostos de fase de tempo em um produto de uma parte espacial \cos(kx) e uma parte temporal \cos(\omega t). Isso é exatamente a forma de uma onda estacionária: a amplitude em cada ponto x é dada por 2A\cos(kx) e essa amplitude oscila no tempo como \cos(\omega t).

Passo 4

Interpretação física (o que significa essa fórmula na prova):
  • A parte espacial é \cos(kx). Pontos onde \cos(kx)=0 são nós (movimento nulo para todo o tempo). As posições dos nós são dadas por
\cos(kx)=0 \quad\Rightarrow\quad kx=\frac{(2n+1)\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{(2n+1)\pi}{2k},\quad n\in\mathbb{Z}.
  • Os antinós (máxima amplitude) ocorrem onde |\cos(kx)|=1, ou seja kx=n\pi, com amplitude máxima 2A.
    Isso confirma que a superposição forma uma onda estacionária, com nós e ventres fixos no espaço e a oscilação temporal dada por \cos(\omega t).

Passo 5

Agora vamos comparar com as alternativas:
  • (a) “interferência destrutiva ao longo de toda a corda”: seria y\equiv 0 para todo x,t. Isso não ocorre porque y pode assumir valores até 2A, logo não é destruição total.
  • (b) “uma onda estacionária, dada por \displaystyle y=2A\cos(kx)\cos(\omega t)”: é exatamente a expressão que obtivemos pela soma. Está coerente com a identidade usada.
  • (c) “interferência construtiva ao longo de toda a corda, dada por \displaystyle y=2A\cos(kx)”: essa expressão não depende de t; mesmo no máximo construtivo a amplitude varia no tempo, então está incorreta como descrição completa.
  • (d) “nenhuma das alternativas”: já descartada porque (b) coincide com o resultado.

Passo 6

Comentário prático para a prova (dica amiga): a forma y=2A\cos(kx)\cos(\omega t) é a resposta padrão quando duas ondas de mesma amplitude e mesma frequência, viajando em direções opostas, se superpõem. Em questões de prova, sempre tente aplicar a identidade de soma de cossenos — isso resolve rápido. Não esqueça de interpretar fisicamente como nós e antinós, se pedirem.

Resposta

b)

Exercícios relacionados