Questão 9 - Duas ondas transversais se propagam em uma corda de extremidades fixas e comprimento
, sendo descritas pelas funções
e
onde x é posição de um ponto na corda e t é o tempo. A interferência entre essas duas ondas gera
a) uma interferência destrutiva ao longo de toda corda.
b) uma onda estacionária, dada por
.
c) uma interferência construtiva ao longo de toda a corda, dada por
.
d) nenhuma das alternativas acima.
a) uma interferência destrutiva ao longo de toda corda.
b) uma onda estacionária, dada por
c) uma interferência construtiva ao longo de toda a corda, dada por
d) nenhuma das alternativas acima.
Passo 1
O enunciado dá duas ondas transversais que se propagam numa corda de comprimento
e com extremidades fixas. As formas das ondas são:
A pergunta é escolher qual alternativa está correta entre:
a) interferência destrutiva ao longo de toda a corda;
b) uma onda estacionária, dada por ;
c) interferência construtiva ao longo de toda a corda, dada por ;
d) nenhuma das alternativas acima.
a) interferência destrutiva ao longo de toda a corda;
b) uma onda estacionária, dada por
c) interferência construtiva ao longo de toda a corda, dada por
d) nenhuma das alternativas acima.
Informações relevantes listadas: as expressões de
e
; o comprimento da corda
; as extremidades são fixas. Não vamos resolver ainda, só organizamos o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Vamos somar as duas ondas (princípio da superposição). Escrevo a soma:
Para somar duas cossenos, usamos a identidade trigonométrica (soma de cossenos):
Aqui
e
. Aplicando a identidade:
Passo 3
Calculemos os meios:
Como
, a soma fica
Portanto a expressão da onda resultante é
Explicação didática: a identidade transforma a soma de duas ondas viajantes de mesma amplitude e frequências/opostos de fase de tempo em um produto de uma parte espacial
e uma parte temporal
. Isso é exatamente a forma de uma onda estacionária: a amplitude em cada ponto
é dada por
e essa amplitude oscila no tempo como
.
Passo 4
Interpretação física (o que significa essa fórmula na prova):
- A parte espacial é
. Pontos onde são nós (movimento nulo para todo o tempo). As posições dos nós são dadas por
- Os antinós (máxima amplitude) ocorrem onde
, ou seja , com amplitude máxima .
Isso confirma que a superposição forma uma onda estacionária, com nós e ventres fixos no espaço e a oscilação temporal dada por.
Passo 5
Agora vamos comparar com as alternativas:
- (a) “interferência destrutiva ao longo de toda a corda”: seria
para todo . Isso não ocorre porque pode assumir valores até , logo não é destruição total. - (b) “uma onda estacionária, dada por
”: é exatamente a expressão que obtivemos pela soma. Está coerente com a identidade usada. - (c) “interferência construtiva ao longo de toda a corda, dada por
”: essa expressão não depende de ; mesmo no máximo construtivo a amplitude varia no tempo, então está incorreta como descrição completa. - (d) “nenhuma das alternativas”: já descartada porque (b) coincide com o resultado.
Passo 6
Comentário prático para a prova (dica amiga): a forma
é a resposta padrão quando duas ondas de mesma amplitude e mesma frequência, viajando em direções opostas, se superpõem. Em questões de prova, sempre tente aplicar a identidade de soma de cossenos — isso resolve rápido. Não esqueça de interpretar fisicamente como nós e antinós, se pedirem.
Resposta
b)