Calcule a integral dupla e faça um esboço da região de integração.
integral0^raiz2 integraly^raiz4-y^2 yx e^x^2+y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^raiz2!!integraly^raiz4-y^2yx,e^x^2+y^2,dx,dy
e fazer um esboço da região de integração.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, pois a presença de e^x^2+y^2 e a forma circular do limite externo sugerem usar x=rcostheta, y=rsintheta e o Jacobiano r.

Passo 2

Identificamos a região D no plano xy descrita por
0<= y<=raiz2, y<= x<=raiz4-y^2
Em outras palavras, D=(x,y):y>=0,;x>= y,;x^2+y^2<=4.
Esboço qualitativo: no primeiro quadrante, limite inferior é o eixo y=0, à esquerda a reta x=y (ângulo de 45^circ) e externamente a circunferência de raio 2. A interseção da reta com a circunferência ocorre em (raiz2,raiz2).

Passo 3

Fazendo a mudança para coordenadas polares
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy=r,dr,dtheta,
temos
yx=rsinthetarcostheta=tantheta, e^x^2+y^2=e^r^2
Os limites viram
0<=theta<=pi4 (pois (y>=0) e (x>= y) dão (0<=theta<=pi/4)), 0<= r<=2 (pela circunferência (r=2)) ãê
Assim a integral fica
integral0^pi/4!integral0^2tantheta;e^r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Como a integral é produto de uma parte em theta e outra em r, escrevemos
integral0^pi/4tantheta,dtheta ;times; integral0^2r,e^r^2,dr
  1. Calculando integral0^pi/4tantheta,dtheta:
integraltantheta,dtheta=-lnl|costhetar|Longrightarrow integral0^pi/4tantheta,dtheta =-lnl(costfracpi4r)+lnl(cos0r) =-ln!l(tfracraiz22r) =tfrac12ln2
  1. Calculando integral0^2r,e^r^2,dr:
use u=r^2,;du=2r,dr Longrightarrow integral0^2r,e^r^2,dr =tfrac12integral0^4e^u,du =tfrac12l(e^4-1r)
Multiplicando, obtemos
12ln2;times;12l(e^4-1r) =e^4-14,ln2

Resposta

boxede^4-14,ln2

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