Calcule a integral dupla e faça um esboço da região de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
e fazer um esboço da região de integração.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, pois a presença de e a forma circular do limite externo sugerem usar
,
e o Jacobiano
.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, pois a presença de
Passo 2
Identificamos a região
no plano
descrita por
Em outras palavras,
.
Esboço qualitativo: no primeiro quadrante, limite inferior é o eixo , à esquerda a reta
(ângulo de
) e externamente a circunferência de raio
. A interseção da reta com a circunferência ocorre em
.
Esboço qualitativo: no primeiro quadrante, limite inferior é o eixo
Passo 3
Fazendo a mudança para coordenadas polares
temos
Os limites viram
Assim a integral fica
Passo 4
Como a integral é produto de uma parte em
e outra em
, escrevemos
- Calculando
:
- Calculando
:integral0^2r,e^r^2,dr
Multiplicando, obtemos