Resolva os seguintes itens:
(c) Use a identidade de Parseval obtida no item (b) acima para mostrar que sumk=1^infty 1k^4=pi^490.

Passo 1

O enunciado pede para usar a identidade de Parseval, obtida no item (b), aplicada à função f(x)=x^2 definida em [-pi,pi], de modo a determinar a soma
sumk=1^infty1k^4
O que vamos precisar:
1. A série de Fourier de x^2 em [-pi,pi] (coeficientes a0,ak,bk).
2. A identidade de Parseval:
1piintegral-pi^pi [f(x)]^2,dx = a0^22 + sumk=1^inftyl(ak^2 + bk^2r)

Passo 2

Calcular os coeficientes da série de Fourier de f(x)=x^2:
a0 = 1piintegral-pi^pi x^2,dx = 2piintegral0^pi x^2,dx = 2pi,pi^33 = 2pi^23,
ak = 1piintegral-pi^pi x^2cos(kx),dx = 4(-1)^kk^2, bk = 1piintegral-pi^pi x^2sin(kx),dx = 0

Passo 3

Aplicar Parseval para f(x)=x^2:
1piintegral-pi^pi x^4,dx = a0^22 + sumk=1^inftyak^2
Calcular o lado esquerdo:
1piintegral-pi^pi x^4,dx = 2piintegral0^pi x^4,dx = 2pi,pi^55 = 2pi^45
Substituir a0 e ak:
2pi^45 = 12l(2pi^23r)^2 + sumk=1^inftyl(4k^2r)^2 = 2pi^49 + 16,sumk=1^infty1k^4

Passo 4

Isolar a soma:
16sumk=1^infty1k^4 = 2pi^45 - 2pi^49 = l(18 - 1045r)pi^4 = 8pi^445,
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sumk=1^infty1k^4 = 8pi^445cdot16 = pi^490

Resposta

sumk=1^infty1k^4 = pi^490

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