Problema: Estimativa de Temperatura em um Componente Eletrônico
Você é um engenheiro trabalhando em uma empresa que desenvolve componentes eletrônicos para uma variedade de aplicações. Um dos desafios é manter os componentes dentro de uma faixa de temperatura operacional segura. Um componente específico tem sua temperatura T em graus Celsius ( ^circ C ) modelada por uma função T(t), onde t é o tempo em segundos.
A função T(t) pode ser aproximada por uma Série de Taylor centrada em t=t0 da seguinte maneira:
T(t)=T(t0)+d Td t(t0) cdot(t-t0)+12 d^2 Td t^2(t0) cdot(t-t0)^2+ldots
onde dTdt é a derivada da temperatura em relação ao tempo.
Usando a Série de Taylor até o segundo termo, estime a temperatura do componente eletrônico em t=3 segundos, sabendo que T0=50^circ C.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a temperatura T(3) de um componente usando a Série de Taylor centrada em t=t0, truncada até o segundo termo (isto é, até a derivada de primeira ordem). Sabemos apenas que
T(t0) = T0 = 50;^circC
Para usar a aproximação precisamos também de
dTdt(t0)
e do valor de t0.

Passo 2

A aproximação de Taylor até o primeiro termo não-trivial (primeira derivada) é
T(t)approx T(t0) + dTdt(t0),(t - t0)

Passo 3

Aplicando isso em t=3 segundos, obtemos
T(3)approx 50 + dTdt(t0),(3 - t0)

Passo 4

Para transformar essa expressão em um valor numérico é imprescindível conhecer
  1. O ponto de expansão t0.
  2. O valor da derivada dTdt(t0).
Sem esses dois dados não há como continuar a estimativa.

Resposta

Não é possível estimar numericamente T(3) porque faltam os valores de t0 e de dTdt(t0).

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