Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
f(x, y)= x^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x^4x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede o conjunto onde f é diferenciável. O conteúdo principal é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, usando que quocientes de polinômios sem pontos de divisão por zero são suaves, e que no ponto crítico (0,0) usamos a definição via limite do resto sobre a norma do vetor.]

Passo 2

Para , o denominador é não nulo, logo é composta de soma, produto e quociente de funções polinomiais sem pontos singulares. Assim é de classe em e portanto diferenciável em todo ponto .

Passo 3

No ponto (0,0) calculamos as derivadas parciais candidatas.
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^4/(h^2+0)-0h =limhto0h^2h =limhto0h =0,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-0h =limhto00h=0
Logo o candidato ao diferencial em (0,0) é o aplicativo linear L(x,y)=0.

Passo 4

Verificamos a definição de diferenciabilidade em (0,0): deve ocorrer
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =lim(x,y)to(0,0) x^4x^2+y^2raizx^2+y^2 =0
Em coordenadas polares (x,y)=(rcostheta,rsintheta) isso vira
r^4cos^4thetar^2cdot1r =;r,cos^4theta ;<=;r ;xrightarrowrto0;0
Portanto o resto dividido por |(x,y)| tende a zero e f é diferenciável em (0,0).

Resposta

é diferenciável em todo .

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