A partir da função vetorial
r(t)=(e^t sin 2 t) i+(e^t cos 2 t) j+2 e^t k
determine, quando t=0 :
(a) (5 pontos) O vetor tangente unitário;
(b) (5 pontos) O vetor normal unitário;
(c) (5 pontos) O vetor binormal unitário;
(d) (5 pontos) a curvatura;
(e) (5 pontos) a torsão.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
vec r(t)=l(e^tsin2tr),vec i+l(e^tcos2tr),vec j+2e^t,vec k
e pede, em t=0:
(a) o vetor tangente unitário vec T,
(b) o vetor normal unitário vec N,
(c) o vetor binormal unitário vec B,
(d) a curvatura kappa,
(e) a torsão tau.
Para isso precisamos calcular as derivadas vec r,', vec r,'', vec r,''' , as normas, produtos vetoriais e determinantes no ponto t=0.

Passo 2

Calcular vec r,'(t), avaliá-la em t=0 e obter vec T(0).
Derivando componente a componente:
vec r,'(t)=l(e^t(sin2t+2cos2t)r),vec i +l(e^t(cos2t-2sin2t)r),vec j+2e^t,vec k
Em t=0: sin0=0, cos0=1, e^0=1, logo
vec r,'(0)=(2,,1,,2), |vec r,'(0)|=raiz4+1+4=3
O vetor tangente unitário em 0 é
vec T(0)=vec r,'(0)|vec r,'(0)| =l(tfrac23,,tfrac13,,tfrac23r)

Passo 3

Calcular vec r,''(t) e avaliá-la em t=0.
Derivando vec r,'(t):
vec r,''(t)=l(e^t(4cos2t-3sin2t)r),vec i -l(e^t(3cos2t+4sin2t)r),vec j +2e^t,vec k
Em t=0:
vec r,''(0)=(4,,-3,,2)

Passo 4

Calcular a curvatura kappa(0) pela fórmula
kappa=|vec r,'timesvec r,''||vec r,'|^3
Em 0,
vec r,'(0)timesvec r,''(0) =(2,1,2)times(4,-3,2) =(8,,4,,-10), |vec r,'timesvec r,''|=raiz64+16+100=6raiz5
Como |vec r,'(0)|=3,
kappa(0)=6raiz53^3=2raiz59

Passo 5

Calcular o vetor normal unitário vec N(0).
Primeiro projetar vec r,''(0) em vec T(0):
vec r,''cdotvec T =(4,-3,2)cdotl(tfrac23,tfrac13,tfrac23r)=3, projvec Tvec r,''=(3)vec T=(2,1,2)
O componente perpendicular é
vec r,''perp=vec r,''(0)-projvec Tvec r,''=(2,-4,0)
Normalizando com |vec r,''perp|=raiz4+16+0=2raiz5:
vec N(0)=vec r,''perp|vec r,''perp| =l(tfrac1raiz5,,tfrac-2raiz5,,0r)

Passo 6

Calcular o vetor binormal vec B(0)=vec T(0)timesvec N(0).
Fazendo o produto vetorial:
vec B(0) =l(tfrac23,tfrac13,tfrac23r)times l(tfrac1raiz5,-tfrac2raiz5,0r) =l(tfrac43raiz5,,tfrac23raiz5,,-tfrac53raiz5r)

Passo 7

Calcular a torsão tau(0) pela fórmula
tau=detl[vec r,',,vec r,'',,vec r,'''r] |vec r,'timesvec r,''|^2
Derivando uma vez mais obtemos
vec r,'''(t)=l(e^t(-2cos2t-11sin2t)r),vec i +l(e^t(-11cos2t+2sin2t)r),vec j +2e^t,vec k
e em t=0: vec r,'''(0)=(-2,-11,2). O determinante
det 2 & 1 & 2 4 & -3 & 2 -2 & -11 & 2 =-80, |vec r,'timesvec r,''|^2=(6raiz5)^2=180
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tau(0)=-80180=-49

Resposta

(a) vec T(0)=l(tfrac23,,tfrac13,,tfrac23r)
(b) vec N(0)=l(tfrac1raiz5,,-tfrac2raiz5,,0r)
(c) vec B(0)=l(tfrac43raiz5,,tfrac23raiz5,,-tfrac53raiz5r)
(d) kappa(0)=2raiz59
(e) tau(0)=-49

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