determine, quando :
(a) (5 pontos) O vetor tangente unitário;
(b) (5 pontos) O vetor normal unitário;
(c) (5 pontos) O vetor binormal unitário;
(d) (5 pontos) a curvatura;
(e) (5 pontos) a torsão.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede, em :
(a) o vetor tangente unitário ,
(b) o vetor normal unitário ,
(c) o vetor binormal unitário ,
(d) a curvatura ,
(e) a torsão .
Para isso precisamos calcular as derivadas , , , as normas, produtos vetoriais e determinantes no ponto .
Passo 2
Calcular , avaliá-la em e obter .
Derivando componente a componente:
Em : , , , logo
O vetor tangente unitário em é
Passo 3
Calcular e avaliá-la em .
Derivando :
Em :
Passo 4
Calcular a curvatura pela fórmula
Em ,
Como ,
Passo 5
Calcular o vetor normal unitário .
Primeiro projetar em :
O componente perpendicular é
Normalizando com :
Passo 6
Calcular o vetor binormal .
Fazendo o produto vetorial: