Calcule a integral dupla da função f(x, y)=e^{\frac{x}{y}} no conjunto B: 1 \leq y \leq 2 e y \leq x \leq y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla da função f(x,y)=e^{\frac{x}{y}} sobre o conjunto B dado por:
  • 1 \leq y \leq 2,
  • y \leq x \leq y^{2}.
Pergunta clara: calcular
I=\iint_{B} e^{\frac{x}{y}}\,dA.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável y varia entre 1 e 2.
  • Para cada y fixo, x varia de x=y até x=y^{2}.
  • A função a integrar é e^{\frac{x}{y}}.

Passo 2

Montar a integral iterada na ordem natural (integrar primeiro em x, depois em y), porque os limites de x estão dados em função de y. Assim:
I=\int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=y}^{y^{2}} e^{\frac{x}{y}}\,dx\right)dy.
Explicando por que essa escolha: como os limites de x dependem de y, integrar em x primeiro evita ter que reescrever a região. É a forma direta e geralmente mais simples.

Passo 3

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{x=y}^{y^{2}} e^{\frac{x}{y}}\,dx. Para isso, uso substituição simples (ou observar que a primitiva é y e^{x/y}).
Fazendo a substituição \displaystyle u=\frac{x}{y}. Então \displaystyle dx=y\,du.
Os limites em u ficam:
  • quando x=y, \displaystyle u=1;
  • quando x=y^{2}, \displaystyle u=y.
Portanto
\int_{x=y}^{y^{2}} e^{\frac{x}{y}}\,dx = \int_{u=1}^{u=y} e^{u}\, (y\,du) = y\int_{1}^{y} e^{u}\,du.
A integral de e^{u} é e^{u}, logo
y\int_{1}^{y} e^{u}\,du = y\bigl[e^{u}\bigr]_{1}^{y} = y\bigl(e^{y}-e\bigr) = y e^{y} - y e.
(Opção curta: notar que \dfrac{d}{dx}\bigl(y e^{x/y}\bigr)=e^{x/y}, logo a primitiva é y e^{x/y} e avaliar entre x=y e x=y^{2} dá o mesmo resultado.)

Passo 4

Substituir o resultado da integral interna na integral externa:
I=\int_{1}^{2}\bigl(y e^{y} - y e\bigr)\,dy.
Separar em duas integrais:
I=\int_{1}^{2} y e^{y}\,dy \;-\; e\int_{1}^{2} y\,dy.
Agora calcular cada uma.
  1. Calcular \displaystyle \int_{1}^{2} y e^{y}\,dy por integração por partes. Lembrando a fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho u=y (então du=dy) e dv=e^{y}dy (então v=e^{y}). Assim
\int y e^{y}\,dy = y e^{y} - \int e^{y}\,dy = y e^{y} - e^{y} + C = e^{y}(y-1)+C.
Avaliado de 1 a 2:
\int_{1}^{2} y e^{y}\,dy = \bigl[e^{y}(y-1)\bigr]_{1}^{2} = e^{2}(2-1) - e^{1}(1-1) = e^{2} - 0 = e^{2}.
  1. Calcular \displaystyle \int_{1}^{2} y\,dy:
\int_{1}^{2} y\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{2}-1^{2}}{2} = \frac{4-1}{2} = \frac{3}{2}.
Portanto
I = e^{2} - e\cdot\frac{3}{2} = e^{2} - \frac{3}{2}e.

Passo 5

Comentário rápido e incentivo: deu certinho — as contas ficaram simples porque a primitiva em x aparece facilmente (substituição ou observação direta) e a integral em y se reduz a uma integração por partes simples mais uma integral polinomial. Vai dar tudo certo na prova — respira e revisa esse tipo de passo.

Resposta

e^{2}-\dfrac{3}{2}e

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