Calcule a integral dupla da função
no conjunto
e
.
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla da função
sobre o conjunto
dado por:
-
, -
.
Pergunta clara: calcular
Informações relevantes fornecidas:
- A variável
varia entre e . - Para cada
fixo, varia de até . - A função a integrar é
.
Passo 2
Montar a integral iterada na ordem natural (integrar primeiro em
, depois em
), porque os limites de
estão dados em função de
. Assim:
Explicando por que essa escolha: como os limites de
dependem de
, integrar em
primeiro evita ter que reescrever a região. É a forma direta e geralmente mais simples.
Passo 3
Calcular a integral interna
. Para isso, uso substituição simples (ou observar que a primitiva é
).
Fazendo a substituição
. Então
.
Os limites em ficam:
Os limites em
- quando
, ; - quando
, .
Portanto
A integral de
é
, logo
(Opção curta: notar que
, logo a primitiva é
e avaliar entre
e
dá o mesmo resultado.)
Passo 4
Substituir o resultado da integral interna na integral externa:
Separar em duas integrais:
Agora calcular cada uma.
- Calcular
por integração por partes. Lembrando a fórmula da integração por partes:
Escolho
(então
) e
(então
). Assim
Avaliado de
a
:
- Calcular
:
Portanto
Passo 5
Comentário rápido e incentivo: deu certinho — as contas ficaram simples porque a primitiva em
aparece facilmente (substituição ou observação direta) e a integral em
se reduz a uma integração por partes simples mais uma integral polinomial. Vai dar tudo certo na prova — respira e revisa esse tipo de passo.