Use a diferenciação implícita para determinar partial zpartial x e partial zpartial y.
x-z=arctan (y z)

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x - z = arctan(y z)
e pede para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y. O conteúdo envolvido é diferenciação implícita de funções de duas variáveis.

Passo 2

Diferenciando em relação a x, com y constante, temos:
a derivada de x é 1, de -z é -partial z/partial x, e de arctan(yz) é
11+(yz)^2;cdot;ddx(yz) =11+(yz)^2;y,partial zpartial x
Logo,
1 - partial zpartial x = y,partial z/partial x1+(y z)^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 1+(y z)^2 e agrupando os termos com partial z/partial x, obtemos
(1+(y z)^2)l(1 - partial zpartial xr) = y,partial zpartial x Longrightarrow partial zpartial x = 1+(y z)^21 + y + (y z)^2

Passo 4

Agora diferenciamos em relação a y, com x constante. A derivada de x é 0, de -z é -partial z/partial y, e de arctan(yz) é
11+(yz)^2;cdot;ddy(yz) =11+(yz)^2l(z + y,partial zpartial yr)
Logo,
-,partial zpartial y = z + y,partial z/partial y1+(y z)^2

Passo 5

Multiplicando por 1+(y z)^2 e isolando partial z/partial y, resulta
-(1+(y z)^2)partial zpartial y = z + y,partial zpartial y Longrightarrow partial zpartial y = -z1 + y + (y z)^2

Resposta

partial zpartial x = 1+(y z)^21 + y + (y z)^2, partial zpartial y = -z1 + y + (y z)^2

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