Calcule a integral dupla \iint_{D}\left(x^{2}+3 y\right) d A, onde D é a região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{D}\bigl(x^{2}+3y\bigr)\,dA
onde D é a região limitada pelas curvas y=x^{2} (abaixo) e y=\sqrt{x} (acima). O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas e vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em integral iterada.

Passo 2

Primeiro, encontramos onde as duas curvas se cruzam resolvendo
x^{2} = \sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad x^{4} - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x^{3}-1)=0
logo x=0 ou x=1. Num ponto intermediário (por exemplo x=1/4) vale x^{2}<\sqrt{x}, então em 0\le x\le1 temos x^{2}\le y\le\sqrt{x}. Assim
\iint_{D}\bigl(x^{2}+3y\bigr)\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl[\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}}\bigl(x^{2}+3y\bigr)\,dy\Bigr]dx.

Passo 3

Calculemos a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}}\bigl(x^{2}+3y\bigr)\,dy = x^{2}\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr) +3\cdot\frac{(\sqrt{x})^{2}-(x^{2})^{2}}{2}.
Como (\sqrt{x})^{2}=x e (x^{2})^{2}=x^{4}, isso vira
= x^{2}\sqrt{x} - x^{4} + \frac{3}{2}\bigl(x - x^{4}\bigr) = x^{5/2} - x^{4} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}x^{4} = x^{5/2} + \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}x^{4}.

Passo 4

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(x^{5/2} + \tfrac{3}{2}x - \tfrac{5}{2}x^{4}\Bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac{2}{7}x^{7/2} + \tfrac{3}{4}x^{2} - \tfrac{1}{2}x^{5}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{2}{7} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 28:
\frac{2}{7} = \frac{8}{28},\quad \frac{3}{4} = \frac{21}{28},\quad \frac{1}{2} = \frac{14}{28},
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\frac{8}{28} + \frac{21}{28} - \frac{14}{28} = \frac{15}{28}.

Resposta

\displaystyle \frac{15}{28}

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