Calcule os limites abaixo, usando preferencialmente o método de Bernoulli-l’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}\right)^{e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}(e^x)^{e^{-x}}.
Percebemos que, quando x\to\infty, a base e^x\to\infty e o expoente e^{-x}\to0, ou seja, temos uma forma indeterminada do tipo “ \infty^0”. Vamos usar a transformação logarítmica e, em seguida, o método de Bernoulli-l’Hôpital para avaliar esse limite.

Passo 2

Denotemos
L=\lim_{x\to\infty}(e^x)^{e^{-x}}.
Como a exponencial é sempre positiva, podemos definir y=(e^x)^{e^{-x}} e tomar logaritmo:
\ln y = e^{-x}\,\ln\bigl(e^x\bigr)=x\,e^{-x}.
Logo
\ln L = \lim_{x\to\infty} x\,e^{-x}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}x\,e^{-x}, reescrevemos
x\,e^{-x} = \frac{x}{e^x},
que é da forma \tfrac{\infty}{\infty}. Aplicando Bernoulli-l’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^x} =0.
Portanto \ln L = 0.

Passo 4

Como \ln L=0, segue L=e^0=1.

Resposta

1

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