Encontre o comprimento das curvas abaixo nos respectivos intervalos pedidos:
r(t)=\left(t, \frac{t^{3}}{6}+\frac{1}{2 t}\right)\, com \(1 \leq t \leq 2.)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
r(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \Bigl(t,\;\frac{t^3}{6} + \frac{1}{2t}\Bigr)
para 1 \le t \le 2 e pede o comprimento de arco. Vamos usar a fórmula
L = \int_{a}^{b} \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2 + \bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas das componentes:
x'(t) = 1, \qquad y'(t) = \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{t^3}{6} + \frac{1}{2t}\Bigr) = \frac{t^2}{2} - \frac{1}{2t^2}.

Passo 3

Montamos o integrando e simplificamos:
(x')^2 + (y')^2 = 1 + \Bigl(\frac{t^2}{2} - \frac{1}{2t^2}\Bigr)^2 = 1 + \frac{1}{4}\bigl(t^2 - t^{-2}\bigr)^2 = \frac{(t^2 + t^{-2})^2}{4},
portanto
\sqrt{(x')^2 + (y')^2} = \frac{t^2 + t^{-2}}{2}.

Passo 4

O comprimento fica
L = \int_{1}^{2} \frac{t^2 + t^{-2}}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\bigl(t^2 + t^{-2}\bigr)\,dt = \frac{1}{2}\Bigl[\frac{t^3}{3} - \frac{1}{t}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{17}{6} = \frac{17}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{12}

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