Calcule a integral tripla \iiint_{E} z d V, onde E é o sólido limitado inferiormente pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e superiormente pelo plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} z\,dV,
onde E é o sólido limitado inferiormente pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e superiormente pelo plano z=1.
O conteúdo envolvido é mudança para coordenadas cilíndricas, em que usaremos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,
com Jacobiano igual a r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a região E fica
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le1,\quad r^{2}\le z\le1,
pois z=x^{2}+y^{2} vira z=r^{2} e o plano superior é z=1. Assim
\iiint_{E} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r^{2}}^{1} z\,(r)\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{r^{2}}^{1} z\,dz = \left.\frac{1}{2}z^{2}\right|_{r^{2}}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(1 - r^{4}\bigr).
Multiplicando pelo fator r do Jacobiano, o integrando em r fica \tfrac{1}{2}(r - r^{5}).

Passo 4

Agora integramos em r e em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\frac{1}{2}\bigl(r - r^{5}\bigr)\,dr = 2\pi\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(r - r^{5})\,dr = \pi\Bigl[\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{6}\Bigr] = \pi\cdot\tfrac{1}{3} = \frac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}

Exercícios relacionados