Questão 11. Mostre que a transformada de Laplace de
, com
e
constantes, é
. Analogamente para a função
, com
e
constantes, é
. Utilize os resultados para obter
, sabendo que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (i) mostrar as transformadas de Laplace das funções
e
, onde
e
são constantes; (ii) usar esses resultados para obter
sabendo que
Informações relevantes fornecidas:
e a transformada de
no domínio de
acima. Não há outras condições numéricas além de
e
constantes; implicitamente precisamos supor que
é suficientemente grande para garantir convergência das integrais de Laplace.
Passo 2
Lembrete (definição) e estratégia: a transformada de Laplace de uma função
é
Para as funções exponencial vezes cosseno/seno, vamos substituir
e calcular a integral diretamente. Para as manipulações integrais é prático usar a identidade complexa
e
. Também usaremos que, para
,
Aqui
será
(ou terá parte real positiva) para garantir que a exponencial tende a zero no infinito.
Passo 3
Cálculo de
: substituindo na definição,
Defina
. Para
temos convergência. Usando a identidade complexa,
logo
Como
, a integral vale
Agora tomamos a parte real:
Substituindo
obtemos
Passo 4
Cálculo de
: procedimento análogo. Começamos por
Usando
,
Como antes,
e a parte imaginária é
. Substituindo
obtemos
Passo 5
Resumo dos resultados que provamos (úteis para a inversão):
Agora vamos usar essas fórmulas para inverter
Passo 6
Preparar a fração para identificação com as formas acima. Primeiro complete o quadrado no denominador:
Agora escreva o numerador em termos de
:
Substituindo essas expressões,
Passo 7
Reconheça cada termo como transformadas conhecidas:
- Usando a fórmula para cosseno com
e ,
Então o primeiro termo é
.
- Para o segundo termo precisamos do fator
no numerador para usar a fórmula do seno. Note que
Portanto o segundo termo é
.
Pela linearidade da transformada inversa, obtemos
somando as inversas desses termos.
Passo 8
Aplicando a inversa termo a termo:
Opcionalmente fatorando
,