(\mathbf{2}, \mathbf{0}) Seja f(x, y)=-x^{2}-y^{2}+2 x+2 y+2,(x, y) \in \mathbb{R}^{2}. Para f :
a) Calcule os pontos críticos.
b) Classifique os pontos críticos calculados no item (b).
c) Determine a fórmula de Taylor de ordem dois centrada no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = -x^{2} - y^{2} + 2x + 2y + 2,\quad (x,y)\in\mathbb{R}^{2},
e pede:
a) os pontos críticos;
b) a classificação desses pontos (máximo, mínimo ou sela);
c) a fórmula do polinômio de Taylor de ordem dois centrado em (1,1).
Vamos usar cálculo de gradiente para (a), critério do Hessiano para (b) e a fórmula de Taylor multivariável para (c).

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos o gradiente:
\nabla f(x,y) = \Bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x},\,\tfrac{\partial f}{\partial y}\Bigr) = (-2x + 2,\,-2y + 2).
Igualando a zero,
-2x + 2 = 0,\quad -2y + 2 = 0
x=1 e y=1.
Logo, o único ponto crítico é (1,1).

Passo 3

Para classificar, montamos o Hessiano:
Hf(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\\\ \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 0\\\\ 0 & -2\end{pmatrix}.
No ponto (1,1) os autovalores são ambos -2, negativos, ou seja, Hf(1,1) é negativa definida. Portanto (1,1) é ponto de máximo local.

Passo 4

A fórmula de Taylor de ordem dois em (1,1) é
T_{2}(x,y) = f(1,1) + \nabla f(1,1)\cdot\begin{pmatrix}x-1\y-1\end{pmatrix} + \tfrac12 \begin{pmatrix}x-1 & y-1\end{pmatrix} Hf(1,1) \begin{pmatrix}x-1\y-1\end{pmatrix}.
Sabendo que f(1,1)=4, \nabla f(1,1)=(0,0) e
Hf(1,1)=\begin{pmatrix}-2&0\\\ 0&-2\end{pmatrix},
segue
T_{2}(x,y) = 4 + 0 + \tfrac12\bigl(-2(x-1)^{2}-2(y-1)^{2}\bigr) = 4 - (x-1)^{2} - (y-1)^{2}.

Resposta

a) O único ponto crítico é (1,1).
b) (1,1) é ponto de máximo local.
c) A expansão de Taylor de ordem dois em (1,1) é
T_{2}(x,y) = 4 - (x-1)^{2} - (y-1)^{2}.

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