Calcule a integral dupla \iint_{R} \frac{x y^{2}}{x^{2}+1} d A, R=\{(x, y) / 0 \leq x \leq 1,-3 \leq y \leq 4\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{x\,y^{2}}{x^{2}+1}\,dA
no retângulo
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\,-3\le y\le4\}.
Como a região e o integrando são produtos de funções que dependem separadamente de x e de y, vamos usar o Teorema de Fubini para separar a integração em x e em y.

Passo 2

Aplicando Fubini, escrevemos
\iint_{R}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+1}\,dA =\int_{0}^{1}\!\!\int_{-3}^{4}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+1}\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx\;\times\;\int_{-3}^{4}y^{2}\,dy.

Passo 3

Calculemos primeiro
\int_{-3}^{4}y^{2}\,dy =\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{y=-3}^{y=4} =\frac{4^{3}}{3}-\frac{(-3)^{3}}{3} =\frac{64}{3}-\bigl(-\frac{27}{3}\bigr) =\frac{64+27}{3} =\frac{91}{3}.

Passo 4

Agora calculemos
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Fazemos a substituição u=x^{2}+1, de modo que du=2x\,dx e x\,dx=\tfrac12\,du. Quando x=0, u=1; quando x=1, u=2. Logo,
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\frac12\int_{1}^{2}\frac{du}{u} =\frac12\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{2} =\frac12\ln2.

Resposta

\iint_{R}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+1}\,dA =\frac{91}{3}\times\frac12\ln2 =\frac{91}{6}\ln2.

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