Exercício 1.8. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Estamos trabalhando com séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio
e depois testar os pontos de fronteira
.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão ao termo geral
Calculamos
e, como
, a condição de convergência é
Logo o raio de convergência é
.
Passo 3
Agora testamos
. Substituindo, o
-ésimo termo vira
Essa é uma série alternada com termos
que diminuem para zero. Pelo critério de Leibniz, ela converge. Como
diverge (p-série com
), a convergência é apenas condicional.
Passo 4
Testamos
. Substituindo, o termo geral fica
É uma série de termos positivos equivalente a
, que diverge. Portanto não converge em
.
Passo 5
Juntando tudo, a série converge para
e converge condicionalmente em
, mas diverge em
.
Resposta
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: