Exercício 1.8. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^{n} x^{n}}{\sqrt{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^{n} x^{n}}{\sqrt{n+1}}.
Estamos trabalhando com séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio R e depois testar os pontos de fronteira x=\pm R.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão ao termo geral
t_n = \frac{(-2)^{n}x^{n}}{\sqrt{n+1}}.
Calculamos
\left|\frac{t_{n+1}}{t_n}\right| = \left|\frac{(-2)^{n+1}x^{n+1}}{\sqrt{n+2}}\cdot\frac{\sqrt{n+1}}{(-2)^n x^n}\right| = 2|x|\;\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}
e, como \sqrt{\tfrac{n+1}{n+2}}\to1, a condição de convergência é
2|x|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<\tfrac12.
Logo o raio de convergência é R=\tfrac12.

Passo 3

Agora testamos x=+\tfrac12. Substituindo, o n-ésimo termo vira
t_n = \frac{(-2)^n\bigl(\tfrac12\bigr)^n}{\sqrt{n+1}} = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}.
Essa é uma série alternada com termos \,1/\sqrt{n+1} que diminuem para zero. Pelo critério de Leibniz, ela converge. Como \sum1/\sqrt{n+1} diverge (p-série com p=\tfrac12), a convergência é apenas condicional.

Passo 4

Testamos x=-\tfrac12. Substituindo, o termo geral fica
t_n = \frac{(-2)^n\bigl(-\tfrac12\bigr)^n}{\sqrt{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}}.
É uma série de termos positivos equivalente a \sum n^{-1/2}, que diverge. Portanto não converge em x=-\tfrac12.

Passo 5

Juntando tudo, a série converge para |x|<\tfrac12 e converge condicionalmente em x=+\tfrac12, mas diverge em x=-\tfrac12.

Resposta

Raio de convergência: R=\tfrac12.
Intervalo de convergência: \bigl(-\tfrac12,\tfrac12\bigr].

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