Exercício 1.8. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}(x-3)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x_{0}=3:
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}\,(x-3)^{n}.
Para isso vamos usar o teste da razão, que nos dá o raio R pela condição
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x-3)^{n+1}}{a_n(x-3)^n}\right|<1,
onde a_n=\sqrt{n}.

Passo 2

Aplicando o teste da razão:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\sqrt{n+1}\,(x-3)^{n+1}}{\sqrt{n}\,(x-3)^{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}\right|\;|x-3| =|x-3|\;\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac1n} =|x-3|\cdot1.

Passo 3

A condição de convergência é
|x-3|<1.
Portanto o raio de convergência é
R = 1.

Passo 4

O intervalo onde a série pode convergir é
3-R < x < 3+R \quad\Longrightarrow\quad 2 < x < 4.
Agora precisamos testar os extremos x=2 e x=4.

Passo 5

Para x=4 a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n}\,(4-3)^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n},
cujo termo geral \sqrt{n} não tende a zero, logo diverge.
Para x=2 a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n}\,(2-3)^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n}\,(-1)^{n},
e novamente \sqrt{n}\not\to0, de modo que diverge também.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
(2,4).

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