(1,0) Encontre a área da regiào B limitada pela reta y=x e pela paríbola y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a área da região B limitada pela reta y=x e pela parábola y=x^{2}.\n
Informações fornecidas pelo enunciado:\n
  • Duas curvas no plano: a reta y=x e a parábola y=x^{2}.\n
  • A região B é a área compreendida entre essas duas curvas (fechada pelo ponto de interseção entre elas).\n
    O que precisamos encontrar: a medida da área (número real positivo) dessa região B.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção das curvas, pois eles definem os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:\n
x = x^{2}.
Resolvendo essa equação: movemos todos os termos para um lado,
x^{2} - x = 0,
fatoramos,
x(x-1)=0,
portanto as soluções são
x=0 \quad\text{ou}\quad x=1.
Logo, as curvas se intersectam nos pontos com abscissas x=0 e x=1. Os pontos no plano são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima da outra entre x=0 e x=1, porque a área entre curvas é dada pela integral da função superior menos a função inferior.\n
Calcule a diferença
x - x^{2} = x(1-x).
Para x no intervalo 0<x<1 temos x>0 e (1-x)>0, logo x(1-x)>0. Isso mostra que, para todo x em (0,1),
x > x^{2}.
Portanto a reta y=x é a curva superior e a parábola y=x^{2} é a curva inferior no intervalo entre as interseções.

Passo 4

Apresentar a fórmula que usaremos e explicar por quê: a área entre duas curvas y=f(x) (superior) e y=g(x) (inferior) no intervalo [a,b] é dada por
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Por que essa fórmula funciona (explicação didática): imagine dividir o intervalo [a,b] em tiras verticais muito estreitas de largura \Delta x. Em cada tira, a altura aproximada da região entre as curvas é f(x)-g(x). A área aproximada da tira é (f(x)-g(x))\Delta x. Somando todas as tiras e fazendo o limite quando \Delta x\to0 obtemos a integral acima. Nesta questão, f(x)=x, g(x)=x^{2} e a=0, b=1.

Passo 5

Montar a integral para a área A da região B:
A=\int_{0}^{1}\bigl(x - x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo. Primeiro, ache as antiderivadas termo a termo:\n
  • A antiderivada de x é \dfrac{x^{2}}{2}, porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)=x.\n
  • A antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}.\n
    Portanto uma primitiva de x-x^{2} é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}.
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar F em 1 e em 0 e subtrair:
A = F(1)-F(0)=\left(\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}\right)-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right).

Passo 7

Avaliar e simplificar o resultado:
A = \frac{1}{2}-\frac{1}{3}= \frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}.
Podemos também ver esse valor como a aproximação decimal A\approx0,166\overline{6}, mas a forma exata é \dfrac{1}{6}.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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