(1,0) Encontre a área da regiào
limitada pela reta
e pela paríbola
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a área da região
limitada pela reta
e pela parábola
.\n
Informações fornecidas pelo enunciado:\n
Informações fornecidas pelo enunciado:\n
- Duas curvas no plano: a reta
e a parábola .\n - A região
é a área compreendida entre essas duas curvas (fechada pelo ponto de interseção entre elas).\n
O que precisamos encontrar: a medida da área (número real positivo) dessa região.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção das curvas, pois eles definem os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:\n
Resolvendo essa equação: movemos todos os termos para um lado,
fatoramos,
portanto as soluções são
Logo, as curvas se intersectam nos pontos com abscissas
e
. Os pontos no plano são
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está acima da outra entre
e
, porque a área entre curvas é dada pela integral da função superior menos a função inferior.\n
Calcule a diferença
Calcule a diferença
Para
no intervalo
temos
e
, logo
. Isso mostra que, para todo
em
,
Portanto a reta
é a curva superior e a parábola
é a curva inferior no intervalo entre as interseções.
Passo 4
Apresentar a fórmula que usaremos e explicar por quê: a área entre duas curvas
(superior) e
(inferior) no intervalo
é dada por
Por que essa fórmula funciona (explicação didática): imagine dividir o intervalo
em tiras verticais muito estreitas de largura
. Em cada tira, a altura aproximada da região entre as curvas é
. A área aproximada da tira é
. Somando todas as tiras e fazendo o limite quando
obtemos a integral acima. Nesta questão,
,
e
,
.
Passo 5
Montar a integral para a área
da região
:
Passo 6
Calcular a integral passo a passo. Primeiro, ache as antiderivadas termo a termo:\n
- A antiderivada de
é , porque .\n - A antiderivada de
é , porque .\n
Portanto uma primitiva deé
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar
em
e em
e subtrair:
Passo 7
Avaliar e simplificar o resultado:
Podemos também ver esse valor como a aproximação decimal
, mas a forma exata é
.