Calcule a integral dupla
\iint_{R}(x+2 y) d y d x
onde R=[0,2] \times[0,3].

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R}(x+2y)\,dy\,dx
no retângulo R=[0,2]\times[0,3]. Como o integrando é contínuo em R, podemos usar o Teorema de Fubini para escrever como integral iterada.

Passo 2

Escrevendo como integral iterada com integração primeiro em y e depois em x, temos
\iint_{R}(x+2y)\,dy\,dx = \int_{0}^{2}\Bigl(\int_{0}^{3}(x+2y)\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
\int_{0}^{3}(x+2y)\,dy = \int_{0}^{3}x\,dy + \int_{0}^{3}2y\,dy = x\,y\Big|_{0}^{3} + 2\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{3} = 3x+9.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}(3x+9)\,dx = 3\int_{0}^{2}x\,dx + 9\int_{0}^{2}1\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} + 9\cdot x\Big|_{0}^{2} = 6+18 = 24.

Resposta

24

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