Usando o método de Divisão pela Metade, encontre o valor m’ınimo da funç ão objetivo (Equações 5 e 6). Dados: intervalo inicial L_{0}=\left[\begin{array}{ll}-2 & 3\end{array}\right] e L_{0}=\left[\begin{array}{ll}0 & 6\end{array}\right] respectivamente, precisão \epsilon=2 / 21 (aproximadamente 9,5 \% do intervalo inicial). Fa.ca uma tabela com os valores dos parâmetros em cada iteracão.
\begin{gathered} f(x)=7 x-16 \cos (x) \\\ f(x)=2 x^{2}+\frac{7}{x} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para minimizar duas funções unimodais em intervalos dados usando o método de divisão pela metade (interval halving method). As funções são
f_1(x) = 7x - 16\cos(x),\quad x\in[-2,3],
f_2(x) = 2x^2 + \frac{7}{x},\quad x\in[0,6],
e a tolerância é \epsilon = \tfrac{2}{21}\approx0,0952. Vamos aplicar o método até que o comprimento do intervalo seja menor ou igual a \epsilon.

Passo 2

O método de divisão pela metade faz, em cada iteração i, o seguinte:
  1. Definimos a_i e b_i.
  2. Calculamos
x_2 = \frac{a_i + b_i}{2},\quad x_1 = \frac{a_i + x_2}{2},\quad x_3 = \frac{x_2 + b_i}{2}.
  1. Avaliamos f(x_1), f(x_2) e f(x_3).
  2. Se f(x_1)<f(x_2), descartamos [x_2,b_i] e tomamos [a_{i+1},b_{i+1}]=[a_i,x_2].
    Se f(x_2) for o menor dos três, tomamos [a_{i+1},b_{i+1}]=[x_1,x_3].
    Se f(x_3)<f(x_2), descartamos [a_i,x_2] e tomamos [a_{i+1},b_{i+1}]=[x_2,b_i].
  3. Repetimos enquanto b_{i+1}-a_{i+1}>\epsilon.

Passo 3

Aplicação ao f_1(x)=7x-16\cos(x) em [-2,3]. Os valores em cada iteração são:
i a_i b_i x_1 x_2 x_3 f(x_1) f(x_2) f(x_3) Novo intervalo
1 -2 3 -0,75 0,5 1,75 -16,9570 -10,5413 15,1019 [-2,0,5]
2 -2 0,5 -1,375 -0,75 -0,125 -12,7000 -16,9570 -16,7502 [-1,375,-0,125]
3 -1,375 -0,125 -1,0625 -0,75 -0,4375 -15,1810 -16,9570 -17,5518 [-0,75,-0,125]
4 -0,75 -0,125 -0,59375 -0,4375 -0,28125 -17,4158 -17,5518 -17,3297 [-0,59375,-0,28125]
5 -0,59375 -0,28125 -0,51562 -0,4375 -0,35938 -17,5349 -17,5518 -17,4999 [-0,51562,-0,35938]
6 -0,51562 -0,35938 -0,47656 -0,4375 -0,39844 -17,5551 -17,5518 -17,5325 [-0,51562,-0,4375]
No final o comprimento do intervalo é 0,078125<\epsilon.

Passo 4

Aplicação ao f_2(x)=2x^2+\tfrac{7}{x} em [0,6]. Os valores em cada iteração são:
i a_i b_i x_1 x_2 x_3 f(x_1) f(x_2) f(x_3) Novo intervalo
1 0 6 1,5 3 4,5 9,1667 20,3333 42,0556 [0,3]
2 0 3 0,75 1,5 2,25 10,4583 9,1667 13,2361 [0,3]\to[0,3]*
→ na verdade [0,3]\to[0,3] foi corrigido abaixo em [0,3]\to[0,3]
2 ^\prime 0 3 0,75 1,5 2,25 10,4583 9,1667 13,2361 [0,3]\to[0,3]?
*Nota: na iteração 2 ocorreu f(x_2)<f(x_1)<f(x_3), então o novo intervalo é [x_1,x_3]=[0,2,25], mas corrigindo a iteração:
| 2 | 0 | 3 | 0,75 | 1,5 | 2,25 | 10,4583 | 9,1667 | 13,2361 | [0,3]\to[0,3]* |
Para evitar confusão, abaixo a tabela correta de 6 iterações:
i a_i b_i x_1 x_2 x_3 f(x_1) f(x_2) f(x_3) Novo intervalo
1 0 6 1,5 3 4,5 9,1667 20,3333 42,0556 [0,3]
2 0 3 0,75 1,5 2,25 10,4583 9,1667 13,2361 [0,3]\to[0,3]**
3 0,75 2,25 1,125 1,5 1,875 8,7535 9,1667 10,7646 [0,75,1,5]
4 0,75 1,5 0,9375 1,125 1,3125 9,2245 8,7535 8,7786 [0,9375,1,3125]
5 0,9375 1,3125 1,03125 1,125 1,21875 8,9177 8,7535 8,7136 [1,125,1,3125]
6 1,125 1,3125 1,171875 1,21875 1,265625 8,7227 8,7136 8,7369 [1,171875,1,265625]
Em i=6 o comprimento do intervalo é 0,09375<\epsilon.

Passo 5

Os intervalos finais onde estão os mínimos são:
– Para f_1: [-0,515625,\,-0,4375], com valor aproximado de mínimo em x\approx -0,4765625,
– Para f_2: [1,171875,\;1,265625], com valor aproximado de mínimo em x\approx1,21875.

Resposta

Para f_1(x)=7x-16\cos(x), o mínimo está em
x\approx -0,47656,\quad f_1(x)\approx -17,5551.
Para f_2(x)=2x^2+\tfrac7x, o mínimo está em
x\approx 1,21875,\quad f_2(x)\approx 8,7136.

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