Usando as regras da álgebra de bras e kets, prove ou calcule os seguinte resultados:
(d) \sum_{a^{\prime}} \psi_{a^{\prime}}^{*}\left(\mathbf{x}^{\prime}\right) \psi_{a^{\prime}}\left(\mathbf{x}^{\prime \prime}\right), onde \psi_{a^{\prime}}\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)=\left\langle\mathbf{x}^{\prime} \mid a^{\prime}\right\rangle.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\sum_{a'}\psi_{a'}^*(\mathbf{x}')\,\psi_{a'}(\mathbf{x}''),
sabendo que \psi_{a'}(\mathbf{x}')=\langle \mathbf{x}'\mid a'\rangle.
O conteúdo principal aqui é a relação de completude de uma base ortonormal \{\lvert a'\rangle\} e o reconhecimento da sobreposição \langle \mathbf{x}'\mid \mathbf{x}''\rangle.

Passo 2

Recordamos a resolução da identidade na base \{\lvert a'\rangle\}:
\sum_{a'}\lvert a'\rangle\langle a'\rvert = \mathbb{I}.

Passo 3

Inserindo essa identidade entre os estados de posição, obtemos
\sum_{a'}\psi_{a'}^*(\mathbf{x}')\,\psi_{a'}(\mathbf{x}'') =\sum_{a'}\langle \mathbf{x}'\mid a'\rangle\langle a'\mid \mathbf{x}''\rangle =\langle \mathbf{x}'\mid \Bigl(\sum_{a'}\lvert a'\rangle\langle a'\rvert\Bigr)\mid \mathbf{x}''\rangle =\langle \mathbf{x}'\mid \mathbf{x}''\rangle.

Passo 4

Pela ortonormalidade contínua dos estados de posição, vale
\langle \mathbf{x}'\mid \mathbf{x}''\rangle =\delta\bigl(\mathbf{x}'-\mathbf{x}''\bigr).

Resposta

\sum_{a'}\psi_{a'}^*(\mathbf{x}')\,\psi_{a'}(\mathbf{x}'') =\delta\bigl(\mathbf{x}'-\mathbf{x}''\bigr).

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