Calcule a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}e^{y^{2}}\,dy\,dx.
O conteúdo necessário é troca de ordem de integração em integrais iteradas e uso de substituição em inte­grais simples.

Passo 2

Identificamos a região de integração no plano (x,y):
0\le x\le1,\quad x\le y\le1.
Para trocar a ordem, observamos que y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de 0 a y. Logo a integral passa a ser
\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}e^{y^{2}}\,dx\,dy.

Passo 3

Calculamos a integral interna em x:
\int_{0}^{y}e^{y^{2}}\,dx =e^{y^{2}}\int_{0}^{y}dx =e^{y^{2}}\cdot y.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{1}y\,e^{y^{2}}\,dy.

Passo 4

Para resolver
\int_{0}^{1}y\,e^{y^{2}}\,dy
faremos a substituição u=y^{2}, de modo que du=2y\,dy e y\,dy=\tfrac12\,du. Os limites vão de u(0)=0 até u(1)=1. Assim
\int_{0}^{1}y\,e^{y^{2}}\,dy =\tfrac12\int_{0}^{1}e^{u}\,du =\tfrac12\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} =\tfrac12(e-1).

Resposta

\frac{e-1}{2}

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