Calcule a integral dupla:
onde:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites são
indo de a e indo de a .
O que se pede: o valor numérico da integral dupla sobre.
Passo 2
Quando a região de integração é um retângulo e a função é integrável, vale o teorema de Fubini: podemos transformar a integral dupla em uma integral iterada. Escrevendo explicitamente,
Aqui a ordem escolhida foi primeiro integrar em
e depois em
. Cada símbolo significa:
-
representa o elemento de área na região . -
indica que a integração em é feita primeiro, depois em .
Passo 3
Observe que a integranda
não depende de
. Quando uma função não depende de uma das variáveis, a integral em relação a essa variável é simplesmente essa função multiplicada pelo comprimento do intervalo correspondente. Portanto,
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral em
:
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral
. Vamos usar duas vezes a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
vezes
, e
é uma antiderivada de
.
Primeira aplicação: escolha
Então
Aplicando a fórmula,
Passo 5
Agora calculamos
por integração por partes de novo. Escolha
portanto
Aplicando a fórmula,
Substituindo esse resultado no Passo 4,
Passo 6
Agora avaliamos a primitiva encontrada no intervalo
:
Calcule os extremos:
Portanto
Passo 7
Lembrando do fator
que ficou fora,