Calcule a integral dupla:
\iint_{R} x^{2} e^{x} d A
onde:
R=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{2} e^{x}\,dA
onde a região R é o retângulo
R=\{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\; 0 \le y \le 2\}.
Informações dadas:
  • A função integranda é f(x,y)=x^{2}e^{x}.
  • Os limites são x indo de 0 a 1 e y indo de 0 a 2.
    O que se pede: o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Quando a região de integração é um retângulo e a função é integrável, vale o teorema de Fubini: podemos transformar a integral dupla em uma integral iterada. Escrevendo explicitamente,
\iint_{R} x^{2} e^{x}\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{2} x^{2} e^{x}\,dy\,dx.
Aqui a ordem escolhida foi primeiro integrar em y e depois em x. Cada símbolo significa:
  • dA representa o elemento de área na região R.
  • dy\,dx indica que a integração em y é feita primeiro, depois em x.

Passo 3

Observe que a integranda x^{2}e^{x} não depende de y. Quando uma função não depende de uma das variáveis, a integral em relação a essa variável é simplesmente essa função multiplicada pelo comprimento do intervalo correspondente. Portanto,
\int_{y=0}^{2} x^{2} e^{x}\,dy = x^{2} e^{x} \cdot \bigl(2-0\bigr) = 2x^{2} e^{x}.
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral em x:
\iint_{R} x^{2} e^{x}\,dA = \int_{x=0}^{1} 2x^{2} e^{x}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx. Vamos usar duas vezes a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a derivada de u vezes dx, e v é uma antiderivada de dv.
Primeira aplicação: escolha
u = x^{2},\qquad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = e^{x}.
Aplicando a fórmula,
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx = x^{2} e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.

Passo 5

Agora calculamos \displaystyle \int x e^{x}\,dx por integração por partes de novo. Escolha
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx,
portanto
du = dx,\qquad v = e^{x}.
Aplicando a fórmula,
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1)+C.
Substituindo esse resultado no Passo 4,
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - 2\bigl(e^{x}(x-1)\bigr) + C = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C.

Passo 6

Agora avaliamos a primitiva encontrada no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx = \left[e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr)\right]_{0}^{1}.
Calcule os extremos:
\text{em } x=1:\; e^{1}\bigl(1^{2}-2\cdot1+2\bigr)=e\cdot(1-2+2)=e,
\text{em } x=0:\; e^{0}\bigl(0^{2}-2\cdot0+2\bigr)=1\cdot 2=2.
Portanto
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx = e - 2.

Passo 7

Lembrando do fator 2 que ficou fora,
\iint_{R} x^{2} e^{x}\,dA = 2\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx = 2\bigl(e-2\bigr)=2e-4.

Resposta

2e-4

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