Seja \mathrm{T}: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R}^{3}, com \mathrm{T}(1,1)=(0,2,1), \mathrm{T}(2,-1)=(3,0,4). Encontre a expressão de \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) e o vetor v \in R^{2} tal que T(v)=(6,2,9).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear \mathrm{T}\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}
pelas imagens de dois vetores não colineares: \mathrm{T}(1,1)=(0,2,1) e \mathrm{T}(2,-1)=(3,0,4).
Queremos (a) a fórmula geral de \mathrm{T}(x,y) e (b) o vetor v\in\mathbb{R}^2 tal que \mathrm{T}(v)=(6,2,9).
O conteúdo envolve representação matricial de transformação linear e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Seja
a = \mathrm{T}(1,0),\quad b = \mathrm{T}(0,1).
Como \mathrm{T} é linear, temos
a + b = \mathrm{T}(1,1) = \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}, \qquad 2a - b = \mathrm{T}(2,-1) = \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix}.
Somando essas equações:
3a = \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix} \;\;\Longrightarrow\;\; a = \begin{pmatrix}1\\[4pt]\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{5}{3}\end{pmatrix}.
Então
b = \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} - a = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]\tfrac{4}{3}\\[4pt]-\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 satisfaz
\mathrm{T}(x,y) = x\,a + y\,b = \begin{pmatrix} x - y \\[6pt] \tfrac{2x + 4y}{3} \\[6pt] \tfrac{5x - 2y}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Procuramos (s,t) tal que \mathrm{T}(s,t)=(6,2,9). Das componentes:
s - t = 6, \qquad \frac{2s+4t}{3}=2\implies s+2t=3, \qquad \frac{5s-2t}{3}=9\implies5s-2t=27.
De s+2t=3 vem s=3-2t. Substituindo em 5s-2t=27:
5(3-2t)-2t=27 \;\Longrightarrow\; 15-10t-2t=27 \;\Longrightarrow\; -12t=12 \;\Longrightarrow\; t=-1,\;s=5.

Resposta

\displaystyle \mathrm{T}(x,y)=\begin{pmatrix} x - y \\[4pt] \tfrac{2x + 4y}{3} \\[4pt] \tfrac{5x - 2y}{3} \end{pmatrix}, \quad v=(5,-1).]

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