Seja \mathrm{T}: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R}^{3}, com \mathrm{T}(1,1)=(0,2,1), \mathrm{T}(2,-1)=(3,0,4). Encontre a expressão de \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) e o vetor v \in R^{2} tal que T(v)=(6,2,9).
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear \mathrm{T}\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}
pelas imagens de dois vetores não colineares: \mathrm{T}(1,1)=(0,2,1) e \mathrm{T}(2,-1)=(3,0,4).
Queremos (a) a fórmula geral de \mathrm{T}(x,y) e (b) o vetor v\in\mathbb{R}^2 tal que \mathrm{T}(v)=(6,2,9).
O conteúdo envolve representação matricial de transformação linear e resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Seja
a = \mathrm{T}(1,0),\quad b = \mathrm{T}(0,1).
Como \mathrm{T} é linear, temos
a + b = \mathrm{T}(1,1) = \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}, \qquad 2a - b = \mathrm{T}(2,-1) = \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix}.