Considere \mathrm{T}: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}^{3} tal que \mathrm{T}(1,0,0)=(1,2,0), \mathrm{T}(0,1,0)=(0,1,1), \mathrm{T}(0,0,1)=(2,-1,3). Determine a matriz associada a Te o vetor \mathrm{v} \in \mathrm{R}^{3} tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(4,3,5).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definindo as imagens dos vetores da base canônica. Vamos:
  1. Construir a matriz A associada a \mathrm{T} cujas colunas são \mathrm{T}(1,0,0), \mathrm{T}(0,1,0) e \mathrm{T}(0,0,1).
  2. Resolver o sistema linear A\,\mathbf{v}=(4,3,5) para encontrar \mathbf{v}.

Passo 2

As colunas de A são as imagens dos vetores canônicos:
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Seja \mathbf{v}=(x,y,z). A equação A\,\mathbf{v}=(4,3,5) fornece o sistema
\begin{cases} x + 2z = 4,\\\\ 2x + y - z = 3,\\\ y + 3z = 5. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação vem
x = 4 - 2z.
Substituindo na segunda:
2(4-2z) + y - z = 3 \;\Longrightarrow\; y - 5z = -5 \;\Longrightarrow\; y = 5z - 5.
Na terceira:
(5z - 5) + 3z = 5 \;\Longrightarrow\; 8z = 10 \;\Longrightarrow\; z = \tfrac{5}{4}.
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y = 5\cdot\tfrac{5}{4} - 5 = \tfrac{5}{4}, \quad x = 4 - 2\cdot\tfrac{5}{4} = \tfrac{3}{2}.

Resposta

A matriz associada a \mathrm{T} é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix},
e o vetor \mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 tal que \mathrm{T}(\mathbf{v})=(4,3,5) é
\mathbf{v} = \bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{5}{4},\,\tfrac{5}{4}\bigr).

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