Calcule a integral iterada.
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{1}\left(x^{3} y^{3}+3 x y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1}\bigl(x^{3}y^{3}+3xy^{2}\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo é cálculo de integrais duplas usando integração iterada, primeiro em y (integral interna) e depois em x (integral externa).

Passo 2

Calculamos a integral interna em y:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{3}y^{3}+3xy^{2}\bigr)\,dy = x^{3}\int_{0}^{1}y^{3}\,dy + 3x\int_{0}^{1}y^{2}\,dy.
Como \int_{0}^{1}y^{3}\,dy = \tfrac{1}{4} e \int_{0}^{1}y^{2}\,dy = \tfrac{1}{3}, temos
\int_{0}^{1}\bigl(x^{3}y^{3}+3xy^{2}\bigr)\,dy = x^{3}\cdot \tfrac{1}{4} + 3x\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{x^{3}}{4} + x.

Passo 3

Agora integramos em x no intervalo [-1,1]:
\int_{-1}^{1}\Bigl(\tfrac{x^{3}}{4} + x\Bigr)\,dx = \tfrac{1}{4}\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx + \int_{-1}^{1}x\,dx.
Como x^{3} e x são funções ímpares, cada uma integrada de -1 a 1 dá zero. Logo,
\tfrac{1}{4}\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx = 0, \quad \int_{-1}^{1}x\,dx = 0,
e a soma é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados