Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação vetorial que define uma curva. O conteúdo que vamos usar é de funções paramétricas, que basicamente descrevem uma curva no plano usando um parâmetro, que aqui é o
. Pra resolver esse exercício, a gente vai precisar entender como transformar essa equação vetorial em duas equações cartesianas, analisar o comportamento da função e, por fim, esboçar o gráfico indicando a direção em que
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a equação vetorial
em duas funções separadas para facilitar:
Isso nos dá duas funções que relacionam
e
com o parâmetro
.
Passo 3
Como
, podemos expressar
em termos de
:
Isso nos permite substituir
na função
para obter uma equação só em termos de
:
Agora, temos a equação cartesiana da curva.
Passo 4
Vamos analisar os pontos interessantes dessa função. Primeiro, vamos encontrar onde a curva cruza o eixo
(quando
):
Então, a curva passa pelo ponto
.
Passo 5
Agora, para entender o comportamento da curva, vamos olhar para a derivada de
em relação a
:
Isso vai nos dizer onde a curva está subindo ou descendo.
Passo 6
Vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Esses são os pontos onde a curva muda de direção.
Passo 7
Com base na derivada, se
ou
,
é positivo, então a curva está subindo. Se
,
é negativo, então a curva está descendo.
Passo 8
Agora, vamos pensar na direção do parâmetro
. Como
, quando
aumenta,
também aumenta. Isso significa que, conforme
cresce, a curva vai sendo traçada da esquerda para a direita.
Resposta
Então, o gráfico da curva
tem um ponto de cruzamento no ponto
e possui dois pontos de inflexão aproximadamente em
. A curva sobe para
, desce entre
e
, e sobe novamente para
. Ao esboçar, indica-se com setas indo da esquerda para a direita, mostrando que conforme
aumenta, a curva se move nessa direção.