Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce
r(t)=(t, t^3-10 t+7)

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação vetorial que define uma curva. O conteúdo que vamos usar é de funções paramétricas, que basicamente descrevem uma curva no plano usando um parâmetro, que aqui é o t . Pra resolver esse exercício, a gente vai precisar entender como transformar essa equação vetorial em duas equações cartesianas, analisar o comportamento da função e, por fim, esboçar o gráfico indicando a direção em que t aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a equação vetorial r(t) = (t, t^3 - 10t + 7) em duas funções separadas para facilitar:
x(t) = t
y(t) = t^3 - 10t + 7
Isso nos dá duas funções que relacionam x e y com o parâmetro t .

Passo 3

Como x(t) = t , podemos expressar t em termos de x :
t = x
Isso nos permite substituir t na função y(t) para obter uma equação só em termos de x :
y = x^3 - 10x + 7
Agora, temos a equação cartesiana da curva.

Passo 4

Vamos analisar os pontos interessantes dessa função. Primeiro, vamos encontrar onde a curva cruza o eixo y (quando x = 0 ):
y = 0^3 - 10 times 0 + 7 = 7
Então, a curva passa pelo ponto (0, 7) .

Passo 5

Agora, para entender o comportamento da curva, vamos olhar para a derivada de y em relação a x :
dydx = 3x^2 - 10
Isso vai nos dizer onde a curva está subindo ou descendo.

Passo 6

Vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
3x^2 - 10 = 0 implies x^2 = 103 implies x = pm raiz103 approx pm 1,825
Esses são os pontos onde a curva muda de direção.

Passo 7

Com base na derivada, se x < -raiz103 ou x > raiz103 , dydx é positivo, então a curva está subindo. Se -raiz103 < x < raiz103 , dydx é negativo, então a curva está descendo.

Passo 8

Agora, vamos pensar na direção do parâmetro t . Como x = t , quando t aumenta, x também aumenta. Isso significa que, conforme t cresce, a curva vai sendo traçada da esquerda para a direita.

Resposta

Então, o gráfico da curva y = x^3 - 10x + 7 tem um ponto de cruzamento no ponto (0, 7) e possui dois pontos de inflexão aproximadamente em x = pm 1,825 . A curva sobe para x < -1,825 , desce entre -1,825 e 1,825 , e sobe novamente para x > 1,825 . Ao esboçar, indica-se com setas indo da esquerda para a direita, mostrando que conforme t aumenta, a curva se move nessa direção.

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