Calcule a integral dupla.
\iint_{R} \frac{1+x}{1+y} d A, \quad R={(x, y) \mid-1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1}
\iint_{R} \frac{1+x}{1+y} d A, \quad R={(x, y) \mid-1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1}
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral dupla
Isso é conteúdo de Cálculo—mais especificamente integrais duplas e o Teorema de Fubini.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- usar o Teorema de Fubini pra virar integral iterada;
- saber fatorar partes que dependem só de
fora da integral em ; - calcular integrais simples em
e em , incluindo a integral de .
Passo 2
Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
Note que
, então dá pra tirar
pra fora da integral em
:
Agora a gente calcula
de onde
Logo
Passo 3
Substituindo de volta na integral dupla, fica
A gente lembra que
.
Então
Então
Isso dá
Resposta
O valor da integral dupla é
.