Calcule a integral dupla.
\iint_{R} \frac{1+x}{1+y} d A, \quad R={(x, y) \mid-1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1}

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral dupla
integral duplaR 1+x1+y,dA, R=(x,y)mid -1<= x<= 2,;0<= y<= 1
Isso é conteúdo de Cálculo—mais especificamente integrais duplas e o Teorema de Fubini.
O que vamos precisar:
  1. usar o Teorema de Fubini pra virar integral iterada;
  2. saber fatorar partes que dependem só de y fora da integral em x;
  3. calcular integrais simples em x e em y, incluindo a integral de 1/(1+y).

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
integral duplaR 1+x1+y,dA =integraly=0^1!integralx=-1^2 1+x1+y,dx,dy
Note que 1+x1+y=11+y(1+x), então dá pra tirar tfrac11+y pra fora da integral em x:
integralx=-1^21+x1+y,dx =11+yintegralx=-1^2(1+x),dx
Agora a gente calcula
integral(1+x),dx = x + tfracx^22,
de onde
integral-1^2(1+x),dx =l[x+tfracx^22r]-1^2 =l(2+tfrac42r)-l(-1+tfrac12r) =(2+2)-(-1+0.5) =4-(-0.5) =tfrac92
Logo
integralx=-1^21+x1+y,dx =11+ycdot 92 =92(1+y)

Passo 3

Substituindo de volta na integral dupla, fica
integral duplaR1+x1+y,dA =integraly=0^192(1+y),dy =92integral0^111+y,dy
A gente lembra que
integral11+y,dy=ln|1+y|.
Então
integral0^111+y,dy =l[ln(1+y)r]0^1 =ln(2)-ln(1) =ln2
Isso dá
92,ln2

Resposta

O valor da integral dupla é 92,ln2.

Exercícios relacionados