Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{3} \int_{0}^{1} \sqrt{x+y} d x d y
\int_{0}^{3} \int_{0}^{1} \sqrt{x+y} d x d y
Passo 1
Então, o enunciado quer que a gente calcule a integral iterada
Isso é sobre Cálculo de integrais duplas (ou integrais iteradas). Para resolver a gente vai precisar:
- Entender que, numa integral iterada, tratamos uma variável de cada vez.
- Conhecer a regra de potência para integrar
. - Saber fazer uma substituição simples
.
Passo 2
Primeiro a gente integra em
, tratando
como constante.
Integral interna:
Integral interna:
Teoria: se eu tiver
, sei que
Aqui faço a substituição
Quando
,
; quando
,
.
Logo
Logo
Passo 3
Agora sobra integrar em
de 0 a 3:
Para cada pedaço:
-
: use regra da potência com , . -
.
Então
Substituindo de volta: