Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{3} \int_{0}^{1} \sqrt{x+y} d x d y

Passo 1

Então, o enunciado quer que a gente calcule a integral iterada
integraly=0^3integralx=0^1raizx+y,dx,dy
Isso é sobre Cálculo de integrais duplas (ou integrais iteradas). Para resolver a gente vai precisar:
  1. Entender que, numa integral iterada, tratamos uma variável de cada vez.
  2. Conhecer a regra de potência para integrar u^1/2.
  3. Saber fazer uma substituição simples u = x + y.

Passo 2

Primeiro a gente integra em x, tratando y como constante.
Integral interna:
integral0^1raizx+y,dx
Teoria: se eu tiver integral u^1/2du, sei que
integral u^1/2du = u^3/2tfrac32 = 23u^3/2
Aqui faço a substituição
u = x + y Longrightarrow du = dx
Quando x=0, u=y; quando x=1, u=y+1.
Logo
integral0^1raizx+y,dx =integralu=y^u=y+1u^1/2du =l[tfrac23u^3/2r]y^,y+1 =23l((y+1)^3/2-y^3/2r)

Passo 3

Agora sobra integrar em y de 0 a 3:
integral0^323l((y+1)^3/2-y^3/2r),dy =23gl(integral0^3(y+1)^3/2dy -integral0^3y^3/2dygr)
Para cada pedaço:
  • integral (y+1)^3/2dy: use regra da potência com v=y+1, integral v^3/2dv=tfrac25v^5/2.
  • integral y^3/2dy=tfrac25y^5/2.
Então
integral0^3(y+1)^3/2dy =25l[(y+1)^5/2r]0^3 =25l(4^5/2-1^5/2r) =25(32-1) =625,
integral0^3y^3/2dy =25l[y^5/2r]0^3 =25,3^5/2 =25cdot9raiz3 =18raiz35
Substituindo de volta:
23l(625-18raiz35r) =23cdot62-18raiz35 =2(62-18raiz3)15 =124-36raiz315

Resposta

boxed124-36raiz315

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