Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}(x+y) d y d x

Passo 1

Então, o exercício tá pedindo pra gente calcular a integral iterada
integral0^pi2integral0^pi2sin(x+y),dy,dx
Isso é conteúdo de Cálculo II (integrais iteradas). A gente vai precisar do Teorema Fundamental do Cálculo, saber que a antiderivada de sin(u) é -cos(u) (pois a derivada de cos(u) é -sin(u)) e usar a regra da cadeia, que aqui é bem simples porque d(x+y)/dy=1.

Passo 2

Primeiro, bora resolver a integral interna em y, tratando x como constante:
integral0^pi2sin(x+y),dy
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se F'(u)=f(u) então integral f(u),du=F(u). Aqui usamos u=x+yRightarrow du=dy, logo
integralsin(x+y),dy =integralsin(u),du =-cos(u)|y=0^y=pi2 =-cos(x+y)|0^pi2
Avaliando em y=pi2 e y=0
-cos!l(x+tfracpi2r)+cos(x) =-l(-sin xr)+cos x =sin x+cos x,
já que cos(x+tfracpi2)=-sin x.

Passo 3

Agora a integral vira só em x:
integral0^pi2l(sin x+cos xr),dx
Separamos em duas:
integral0^pi2sin x,dx ;+;integral0^pi2cos x,dx
Sabendo que integralsin x,dx=-cos x e integralcos x,dx=sin x, temos
l[-cos x+sin xr]0^pi2 =l[-cos(tfracpi2)+sin(tfracpi2)r] -l[-cos0+sin0r] =(0+1)-(-1+0)=2

Resposta

O valor da integral é 2.

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