Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}(x+y) d y d x
Passo 1
Então, o exercício tá pedindo pra gente calcular a integral iterada
Isso é conteúdo de Cálculo II (integrais iteradas). A gente vai precisar do Teorema Fundamental do Cálculo, saber que a antiderivada de é (pois a derivada de é ) e usar a regra da cadeia, que aqui é bem simples porque .
Passo 2
Primeiro, bora resolver a integral interna em , tratando como constante:
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se então . Aqui usamos , logo
Avaliando em y=pi2 e y=0 dá
-cos!l(x+tfracpi2r)+cos(x) =-l(-sin xr)+cos x =sin x+cos x,
já que cos(x+tfracpi2)=-sin x.
Passo 3
Agora a integral vira só em x:
integral0^pi2l(sin x+cos xr),dx
Separamos em duas:
integral0^pi2sin x,dx ;+;integral0^pi2cos x,dx
Sabendo que integralsin x,dx=-cos x e integralcos x,dx=sin x, temos