(2 pt) Calcule a integral dupla
\iint_{R} x y+1 d x d y
sobre o retângulo R=[-1,2] \times[0,3].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(xy+1)\,dx\,dy
sobre o retângulo R=[-1,2]\times[0,3].
O conteúdo aqui é a aplicação do Teorema de Fubini para funções contínuas em retângulo, que permite escrever a integral dupla como iterada.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos
\iint_{R}(xy+1)\,dx\,dy =\int_{y=0}^{3}\Bigl[\int_{x=-1}^{2}(xy+1)\,dx\Bigr]dy.
Dentro dos colchetes, separamos a integral em dois termos:
\int_{x=-1}^{2}(xy+1)\,dx =\int_{-1}^{2}xy\,dx+\int_{-1}^{2}1\,dx.
Usando \int x\,dx = x^{2}/2 e \int 1\,dx = x, obtemos
\int_{-1}^{2}xy\,dx =y\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{2} =y\Bigl(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\Bigr) =\frac{3}{2}\,y,
\int_{-1}^{2}1\,dx =\bigl[x\bigr]_{-1}^{2} =2-(-1) =3.
Logo a integral interna vale
\int_{-1}^{2}(xy+1)\,dx =\frac{3}{2}y+3.

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{0}^{3}\Bigl(\frac{3}{2}y+3\Bigr)\,dy =\frac{3}{2}\int_{0}^{3}y\,dy+3\int_{0}^{3}dy =\frac{3}{2}\,\frac{y^{2}}{2}\Bigl|_{0}^{3}+3y\Bigl|_{0}^{3}.
Calculando:
\frac{3}{2}\cdot\frac{9}{2}+3\cdot3 =\frac{27}{4}+9 =\frac{27+36}{4} =\frac{63}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{63}{4}

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