(2 pt) Faça um esboço do sólido limitado pelos parabolóides
e
. A seguir, calcule o volume deste sólido.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o sólido que fica “entre” os parabolóides
(e que se abre para baixo, com vértice em
)
e
e
(e que se abre para cima, com vértice em
),
e depois calcular o volume desse sólido.
Para resolver, vamos:
e depois calcular o volume desse sólido.
Para resolver, vamos:
- Encontrar a curva de interseção dos dois paraboloides.
- Descrever a projeção dessa curva no plano
e fazer o esboço mental do sólido. - Montar e calcular a integral de volume em coordenadas polares.
Passo 2
Para achar a curva de interseção igualamos as duas superfícies:
Chamando
, isso vira
Logo, elas se intersectam numa circunferência de raio
.
Passo 3
A projeção dessa curva no plano
é o disco de raio
centrado na origem.
O sólido é uma “lente” parabólica simétrica em torno do eixo : por cima está limitada por
e por baixo por
, encontrando-se em
quando
.
No esboço, imagine dois “bowl” encaixados: um voltado para baixo e outro para cima, cortados precisamente na altura .
O sólido é uma “lente” parabólica simétrica em torno do eixo
No esboço, imagine dois “bowl” encaixados: um voltado para baixo e outro para cima, cortados precisamente na altura
Passo 4
O volume é dado por
Em coordenadas polares
, então
Passo 5
Calculamos primeiro a integral em
:
Agora integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
.