(2 pt) Faça um esboço do sólido limitado pelos parabolóides z=18-x^{2}-y^{2} e z=x^{2}+y^{2}. A seguir, calcule o volume deste sólido.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o sólido que fica “entre” os parabolóides
z = 18 - x^{2} - y^{2}
(e que se abre para baixo, com vértice em (0,0,18))
e
z = x^{2} + y^{2}
(e que se abre para cima, com vértice em (0,0,0)),
e depois calcular o volume desse sólido.
Para resolver, vamos:
  1. Encontrar a curva de interseção dos dois paraboloides.
  2. Descrever a projeção dessa curva no plano xy e fazer o esboço mental do sólido.
  3. Montar e calcular a integral de volume em coordenadas polares.

Passo 2

Para achar a curva de interseção igualamos as duas superfícies:
18 - x^{2} - y^{2} \;=\; x^{2} + y^{2}.
Chamando r^2 = x^2 + y^2, isso vira
18 - r^2 = r^2 \quad\Longrightarrow\quad 2r^2 = 18 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad r = 3.
Logo, elas se intersectam numa circunferência de raio 3.

Passo 3

A projeção dessa curva no plano xy é o disco de raio 3 centrado na origem.
O sólido é uma “lente” parabólica simétrica em torno do eixo z: por cima está limitada por z=18-r^2 e por baixo por z=r^2, encontrando-se em z=9 quando r=3.
No esboço, imagine dois “bowl” encaixados: um voltado para baixo e outro para cima, cortados precisamente na altura z=9.

Passo 4

O volume é dado por
V \;=\;\iint_{\text{disco }r\le3}\bigl[\,(18 - r^2)\;-\;(r^2)\bigr]\;dA.
Em coordenadas polares dA = r\,dr\,d\theta, então
V = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{3}\bigl(18 - 2r^2\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{3}(18r - 2r^3)\,dr = \Bigl[9r^2 - \tfrac12r^4\Bigr]_{0}^{3} = 9\cdot 9 \;-\;\tfrac12\cdot 81 = 81 - 40{,}5 = 40{,}5.
Agora integramos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi}40{,}5\,d\theta = 40{,}5\cdot 2\pi = 81\pi.

Resposta

O volume do sólido é 81\pi.

Exercícios relacionados