(2 pt) Use integrais para calcular o volume do sólido que está abaixo do plano x+z=3 e acima do triângulo de vértices (0,0),(0,2),(1,0).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo plano \,x+z=3 e abaixo pelo triângulo de vértices (0,0), (0,2) e (1,0) no plano xy. O método é usar uma integral dupla sobre a região de projeção no xy, integrando a função altura z=3-x.

Passo 2

Identificamos a região D no plano xy. As arestas do triângulo são:
  1. Eixo x: y=0, de x=0 a x=1.
  2. Eixo y: x=0, de y=0 a y=2.
  3. A reta que liga (0,2) a (1,0): y=-2x+2.
    Logo
D = \bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le2-2x\bigr\}.

Passo 3

O volume é
V=\iint_{D} z\,dA
com z=3-x. Em coordenadas retangulares,
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2-2x}(3 - x)\,dy\,dx.

Passo 4

Calcule a integral interna em y:
\int_{y=0}^{2-2x}(3 - x)\,dy=(3-x)\bigl[y\bigr]_{0}^{2-2x}=(3-x)(2-2x).

Passo 5

Agora integramos em x:
V=\int_{0}^{1}(3-x)(2-2x)\,dx =\int_{0}^{1}\bigl(6-8x+2x^{2}\bigr)\,dx =\bigl[6x-4x^{2}+\tfrac{2}{3}x^{3}\bigr]_{0}^{1} =6-4+\tfrac{2}{3} =\tfrac{8}{3}.

Resposta

\frac{8}{3}

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