Calcule a integral dupla
\int_{R} \int \frac{x y}{y+2} d A
onde R é a região retangular 1 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq 1.
Sugestão: lembrar que \int \frac{d u}{u}=\ln (u)+c
3 / 2+\ln (3 / 2)
3 / 2-3 \ln (3 / 2)
3 / 2-\ln (3 / 2)
3 / 2+3 \ln (3 / 2)
\ln (3 / 2)-3 / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\frac{x\,y}{y+2}\,dA
onde R é o retângulo definido por 1\le x\le2 e 0\le y\le1. Vamos usar a ideia de integral iterada e aproveitar que a região é um produto de intervalos para separar as variáveis.

Passo 2

Escrevemos a integral como
\int_{y=0}^{1}\int_{x=1}^{2}\frac{x\,y}{y+2}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\frac{y}{y+2}\Bigl(\int_{1}^{2}x\,dx\Bigr)dy.

Passo 3

Calculamos a integral interna em x:
\int_{1}^{2}x\,dx =\frac{x^{2}}{2}\Bigl|_{1}^{2} =\frac{4-1}{2} =\frac{3}{2}.
Logo
\iint_{R}\frac{x\,y}{y+2}\,dA =\frac{3}{2}\int_{0}^{1}\frac{y}{y+2}\,dy.

Passo 4

Para integrar \int_{0}^{1}\frac{y}{y+2}\,dy, escrevemos
\frac{y}{y+2} =1-\frac{2}{y+2},
de onde
\int_{0}^{1}\frac{y}{y+2}\,dy =\int_{0}^{1}1\,dy -2\int_{0}^{1}\frac{1}{y+2}\,dy.
Usando \displaystyle \int\frac{du}{u}=\ln(u), temos
\int_{0}^{1}1\,dy=1, \quad \int_{0}^{1}\frac{1}{y+2}\,dy =\bigl[\ln(y+2)\bigr]_{0}^{1} =\ln(3)-\ln(2) =\ln\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr).
Assim
\int_{0}^{1}\frac{y}{y+2}\,dy =1-2\ln\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr).

Passo 5

Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{2}, obtemos
\iint_{R}\frac{x\,y}{y+2}\,dA =\frac{3}{2}\Bigl(1-2\ln\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)\Bigr) =\frac{3}{2}-3\ln\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}-3\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)

Exercícios relacionados