Calcule a integral dupla \int_{R} \int \frac{x y}{y+2} d A onde R é a região retangular 1 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq 1. Sugestão: lembrar que \int \frac{d u}{u}=\ln (u)+c 3 / 2+\ln (3 / 2) 3 / 2-3 \ln (3 / 2) 3 / 2-\ln (3 / 2) 3 / 2+3 \ln (3 / 2) \ln (3 / 2)-3 / 2 Passo 1O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{R}\frac{x\,y}{y+2}\,dA onde R é o retângulo definido por 1\le x\le2 e 0\le y\le1. Vamos usar a ideia de integral iterada e aproveitar que a região é um produto de intervalos para separar as variáveis. Passo 2Escrevemos a integral como \int_{y=0}^{1}\int_{x=1}^{2}\frac{x\,y}{y+2}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\frac{y}{y+2}\Bigl(\int_{1}^{2}x\,dx\Bigr)dy. Passo 3Calculamos a integral interna em x: \int_{1}^{2}x\,dx =\frac{x^{2}}{2}\Bigl|_{1}^{2} =\frac{4-1}{2} =\frac{3}{2}. Logo \iint_{R}\frac{x\,y}{y+2}\,dA =\frac{3}{2}\int_{0}^{1}\frac{y}{y+2}\,dy. Passo 4Para integrar \int_{0}^{1}\frac{y}{y+2}\,dy, escrevemos \frac{y}{y+2} =1-\frac{2}{y+2}, de onde \int_{0}^{1}\frac{y}{y+2}\,dy =\int_{0}^{1}1\,dy -2\int_{0}^{1}\frac{1}{y+2}\,dy. Usando \displaystyle \int\frac{du}{u}=\ln(u), temos \int_{0}^{1}1\,dy=1, \quad \int_{0}^{1}\frac{1}{y+2}\,dy =\bigl[\ln(y+2)\bigr]_{0}^{1} =\ln(3)-\ln(2) =\ln\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr). Assim \int_{0}^{1}\frac{y}{y+2}\,dy =1-2\ln\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr). Passo 5Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{2}, obtemos \iint_{R}\frac{x\,y}{y+2}\,dA =\frac{3}{2}\Bigl(1-2\ln\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)\Bigr) =\frac{3}{2}-3\ln\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr). Resposta \displaystyle \frac{3}{2}-3\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados (2,0) Encontre a derivada y^{\prime}, onde y=\left(\frac{\sqrt{x}-6}{x+7}\right)^{3} (2,0) Calcule e justifique. (sem L’Hospital) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}} Calcule a integral dupla \int_{R} \int\left(2 x y-x^{2}\right) d A onde R é a região retangular 1 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq 1. \ln (3 / 2)-3 / 2 Calcule a integral dupla \int_{R} \int\left(2 x y-x^{2}\right) d A Onde R é a região retangular 2 \leq x \leq 4 e 1 \leq y \leq 3. 16/3 8/3 64/3 32/3 128/3