Calcule a integral dupla
\int_{R} \int\left(2 x y-x^{2}\right) d A
Onde R é a região retangular 2 \leq x \leq 4 e 1 \leq y \leq 3.
16/3
8/3
64/3
32/3
128/3

Passo 1

O enunciado pede uma integral dupla de \,f(x,y)=2xy - x^2 sobre o retângulo
R = \{(x,y)\mid 2 \le x \le 4,\;1 \le y \le 3\}.
O conteúdo que vamos usar é que, em região retangular,
\iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{x=2}^{4}\!\!\int_{y=1}^{3}f(x,y)\,dy\,dx,
aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo em cada coordenada.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada correspondente:
\iint_{R}(2xy - x^2)\,dA =\int_{x=2}^{4}\Bigl[\int_{y=1}^{3}(2xy - x^2)\,dy\Bigr]dx.

Passo 3

Integramos em y, tratando x como constante:
\int_{y=1}^{3}(2xy - x^2)\,dy =\int_{y=1}^{3}2xy\,dy \;-\;\int_{y=1}^{3}x^2\,dy =x\,y^2\Big|_{1}^{3}\;-\;x^2\,y\Big|_{1}^{3}.
Calculando os limites em y:
x\bigl(3^2 - 1^2\bigr)\;-\;x^2\bigl(3-1\bigr) =8x \;-\;2x^2.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{x=2}^{4}(8x - 2x^2)\,dx =\Bigl[4x^2 - \tfrac{2}{3}x^3\Bigr]_{2}^{4}.
Em x=4:
4\cdot4^2 - \tfrac{2}{3}\,4^3 =64 - \tfrac{128}{3} =\tfrac{192-128}{3} =\tfrac{64}{3}.
Em x=2:
4\cdot2^2 - \tfrac{2}{3}\,2^3 =16 - \tfrac{16}{3} =\tfrac{48-16}{3} =\tfrac{32}{3}.
Subtraindo, obtemos
\tfrac{64}{3} - \tfrac{32}{3} =\tfrac{32}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

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