Calcule a integral dupla
\int_{R} \int\left(2 x y-x^{2}\right) d A
onde R é a região retangular 1 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq 1.
\ln (3 / 2)-3 / 2

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla da função (2xy - x^2) sobre a região retangular
R = \{(x,y)\mid 1 \le x \le 2,\;0 \le y \le 1\}.
O conteúdo é integração iterada em um retângulo, onde vamos integrar primeiro em y (variável interna) e depois em x (variável externa).

Passo 2

Escrevemos a integral iterada correspondente:
\iint_{R}(2xy - x^2)\,dA = \int_{x=1}^{2}\!\int_{y=0}^{1}(2xy - x^2)\,dy\,dx.

Passo 3

Calculemos a integral interna em y:
\int_{y=0}^{1}(2xy - x^2)\,dy = \int_{0}^{1}2xy\,dy \;-\;\int_{0}^{1}x^2\,dy.
Como x é constante em relação a y,
\int_{0}^{1}2xy\,dy = 2x\int_{0}^{1}y\,dy = 2x\cdot\frac{1^2}{2} = x,
\int_{0}^{1}x^2\,dy = x^2\int_{0}^{1}1\,dy = x^2\cdot1 = x^2.
Logo, a integral interna vale
x - x^2.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{x=1}^{2}(x - x^2)\,dx = \int_{1}^{2}x\,dx \;-\;\int_{1}^{2}x^2\,dx = \biggl[\frac{x^2}{2}\biggr]_{1}^{2} - \biggl[\frac{x^3}{3}\biggr]_{1}^{2}.
Calculando cada termo:
\frac{x^2}{2}\Big|_{1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2},
\frac{x^3}{3}\Big|_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.
Portanto,
\int_{1}^{2}(x - x^2)\,dx = \frac{3}{2} - \frac{7}{3} = \frac{9}{6} - \frac{14}{6} = -\frac{5}{6}.

Resposta

-\frac{5}{6}.

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