Calcule a integral dupla
\int_{R} \int x^{2}\left(x y-y^{2}\right) d A
Onde R é a região retangular 0 \leq x \leq 4 \mathrm{e} 0 \leq y \leq 3.
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Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{2}\bigl(xy - y^{2}\bigr)\,dA
onde R é o retângulo definido por 0 \le x \le 4 e 0 \le y \le 3.
O conteúdo aqui é o Teorema de Fubini: como a função é polinomial (logo contínua) em R, podemos escrever a integral dupla como integral iterada.

Passo 2

Aplicando Fubini e integrando primeiro em y, temos
\iint_{R} x^{2}(xy - y^{2})\,dA = \int_{x=0}^{4}\!\Bigl[\int_{y=0}^{3}\bigl(x^{3}y - x^{2}y^{2}\bigr)\,dy\Bigr]dx.
Calculemos a integral interna em y:
\int_{0}^{3}x^{3}y\,dy = x^{3}\,\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{3} = \frac{9}{2}\,x^{3},
\int_{0}^{3}x^{2}y^{2}\,dy = x^{2}\,\frac{y^{3}}{3}\Big|_{0}^{3} = 9\,x^{2}.
Logo o integrando em x fica
\frac{9}{2}\,x^{3} \;-\; 9\,x^{2}.

Passo 3

Agora integramos essa expressão de x=0 a x=4:
\int_{0}^{4}\Bigl(\tfrac{9}{2}x^{3}-9x^{2}\Bigr)\,dx = \frac{9}{2}\,\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{4} \;-\; 9\,\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{4} = \frac{9}{2}\cdot64 \;-\; 9\cdot\frac{64}{3} = 288 - 192 = 96.

Resposta

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