1. Calcule a integral dupla \int_{R} \int x^{2} d A, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela parábola \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}} e pela reta y=9 .(6 pontos )
\int_{0}^{3} \int_{x^{2}}^{9} x^{2} d y d x=\frac{162}{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre a região R do primeiro quadrante limitada pela parábola y=x^{2} e pela reta y=9. A integral fornecida é
\int_{0}^{3}\int_{x^{2}}^{9} x^{2}\,dy\,dx.
Informações dadas relevantes:
  • A região R está no primeiro quadrante.
  • As curvas que limitam R são y=x^{2} (abaixo) e y=9 (acima).
  • A integral iterada já está escrita na ordem dy depois dx, com x variando de 0 a 3 e y de x^{2} a 9.

Passo 2

Identificar os limites de integração (como foram obtidos):
  • Para achar o intervalo de x intersectamos y=x^{2} com y=9: resolvendo
x^{2}=9 \implies x=\pm 3.
Como estamos no primeiro quadrante, tomamos x\in[0,3].
  • Para cada x fixo em [0,3], y varia de y=x^{2} (curva inferior) até y=9 (reta superior). Isso confirma os limites dados:
0\le x\le 3,\qquad x^{2}\le y\le 9.

Passo 3

Lembrete didático sobre integração iterada e tratamento de x como constante ao integrar em y:
  • Quando fazemos \int_{a}^{b} g(x)\,dy e g(x) não depende de y, a integral em y trata g(x) como constante, então vale a fórmula
\int_{y_{1}}^{y_{2}} g(x)\,dy = g(x)\bigl(y_{2}-y_{1}\bigr).
  • Também usamos a regra básica de integração potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Essas duas ideias bastam para resolver a integral do exercício.

Passo 4

Calcular a integral interna em y, tratando x como constante:
\int_{x^{2}}^{9} x^{2}\,dy = x^{2}\bigl(9 - x^{2}\bigr).
Expliquei: multipliquei x^{2} pelo comprimento do intervalo em y, que é 9-x^{2}.

Passo 5

Agora a integral dupla reduz-se a uma integral em x:
\int_{0}^{3} x^{2}\bigl(9 - x^{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{3}\bigl(9x^{2} - x^{4}\bigr)\,dx.
Integramos termo a termo usando a fórmula da potência:
  • \displaystyle \int 9x^{2}\,dx = 9\cdot\frac{x^{3}}{3} = 3x^{3}.
  • \displaystyle \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
    Portanto a primitiva é
3x^{3} - \frac{x^{5}}{5}.

Passo 6

Avaliar a primitiva em x=0 e x=3:
\left[3x^{3} - \frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{3} = \left(3\cdot 3^{3} - \frac{3^{5}}{5}\right) - \left(0\right).
Calculemos os termos:
  • 3^{3}=27 então 3\cdot 27 = 81.
  • 3^{5}=243 então \dfrac{3^{5}}{5}=\dfrac{243}{5}.
    Subtraindo:
81 - \frac{243}{5} = \frac{405}{5} - \frac{243}{5} = \frac{162}{5}.

Resposta

\dfrac{162}{5}

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