- Calcule a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada pela parábola
e pela reta
pontos
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre a região
do primeiro quadrante limitada pela parábola
e pela reta
. A integral fornecida é
Informações dadas relevantes:
- A região
está no primeiro quadrante. - As curvas que limitam
são (abaixo) e (acima). - A integral iterada já está escrita na ordem
depois , com variando de a e de a .
Passo 2
Identificar os limites de integração (como foram obtidos):
- Para achar o intervalo de
intersectamos com : resolvendo
Como estamos no primeiro quadrante, tomamos
.
- Para cada
fixo em , varia de (curva inferior) até (reta superior). Isso confirma os limites dados:
Passo 3
Lembrete didático sobre integração iterada e tratamento de
como constante ao integrar em
:
- Quando fazemos
e não depende de , a integral em trata como constante, então vale a fórmula
- Também usamos a regra básica de integração potência: para
,
Essas duas ideias bastam para resolver a integral do exercício.
Passo 4
Calcular a integral interna em
, tratando
como constante:
Expliquei: multipliquei
pelo comprimento do intervalo em
, que é
.
Passo 5
Agora a integral dupla reduz-se a uma integral em
:
Integramos termo a termo usando a fórmula da potência:
-
-
Portanto a primitiva é
Passo 6
Avaliar a primitiva em
e
:
Calculemos os termos:
-
então -
então
Subtraindo: