1. Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}-\mathbf{4 x}+\mathbf{3} e \boldsymbol{y}=-\mathbf{5 x}+\mathbf{1 5}. (6 pontos)
\int_{-4}^{3} \int_{x^{2}-4 x+3}^{-5 x+15} d y d x=\frac{343}{6}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e determinar a área limitada pelas curvas y=x^{2}-4x+3 (parábola) e y=-5x+15 (reta). Informações relevantes dadas pelo enunciado: os dois traçados são as funções \,y=x^{2}-4x+3, e \,y=-5x+15. A resposta final esperada é a área da região comum entre essas duas curvas.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção (onde os dois gráficos se cruzam). Igualamos as expressões de y:
x^{2}-4x+3 = -5x+15.
Passo a passo para resolver essa equação: trazemos tudo para o mesmo lado:
x^{2}-4x+3 +5x -15 = 0
x^{2}+x-12 = 0.
Fatoramos o polinômio:
x^{2}+x-12 = (x+4)(x-3)=0.
Logo as raízes são x=-4 e x=3. Então os pontos de interseção são x=-4 e x=3. Podemos também calcular as ordenadas correspondentes (usando a reta, por exemplo):
\text{em }x=-4:\; y=-5(-4)+15=35,
\text{em }x=3:\; y=-5(3)+15=0.
Portanto os pontos de interseção são (-4,35) e (3,0).

Passo 3

Precisamos saber qual curva fica acima da outra no intervalo entre as interseções, para integrar “topo menos baixo”. Pegamos um ponto teste simples no interior do intervalo, por exemplo x=0:
\text{parábola em }x=0:\; y=0^{2}-4\cdot0+3=3,á
\text{reta em }x=0:\; y=-5\cdot0+15=15.
Como 15>3, a reta y=-5x+15 é a função superior (topo) e a parábola y=x^{2}-4x+3 é a função inferior (fundo) para todo x entre -4 e 3.

Passo 4

Recordando o procedimento: a área entre duas curvas y=f(x) (embaixo) e y=g(x) (embaixo) entre x=a e x=b é
\text{Área}=\int_{a}^{b} \bigl(\text{topo} - \text{fundo}\bigr)\,dx.Á
Aqui a=-4, b=3, topo =-5x+15 e fundo =x^{2}-4x+3. Portanto montamos a integral:
\text{Área}=\int_{-4}^{3} \bigl[(-5x+15) - (x^{2}-4x+3)\bigr]\,dx.Á
Vamos simplificar o integrando antes de integrar:
(-5x+15) - (x^{2}-4x+3) = -5x+15 -x^{2}+4x -3 = -x^{2}-x+12.
Então
\text{Área}=\int_{-4}^{3} \bigl(-x^{2}-x+12\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Para uma função polinomial a primitiva é obtida elevando o expoente e dividindo, lembrando de aplicar coeficientes corretamente. Uma primitiva de -x^{2} é -\dfrac{x^{3}}{3}. Uma primitiva de -x é -\dfrac{x^{2}}{2}. Uma primitiva de 12 é 12x. Assim uma primitiva F(x) do integrando é
F(x) = -\dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{x^{2}}{2} + 12x.
Explicando: para x^{n} a primitiva é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}; aqui aplicamos esse procedimento e mantivemos os sinais.

Passo 6

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliamos F(3)-F(-4).
Primeiro F(3):
F(3) = -\dfrac{3^{3}}{3} - \dfrac{3^{2}}{2} + 12\cdot 3 = -\dfrac{27}{3} - \dfrac{9}{2} + 36 = -9 - \dfrac{9}{2} + 36.
Convertendo para frações com denominador 2:
-9 = -\dfrac{18}{2},\quad 36 = \dfrac{72}{2},
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F(3) = -\dfrac{18}{2} - \dfrac{9}{2} + \dfrac{72}{2} = \dfrac{-18-9+72}{2} = \dfrac{45}{2}.
Agora F(-4):
F(-4) = -\dfrac{(-4)^{3}}{3} - \dfrac{(-4)^{2}}{2} + 12\cdot(-4).
Calculemos termo a termo:
(-4)^{3} = -64 \Rightarrow -\dfrac{-64}{3} = \dfrac{64}{3},
(-4)^{2} = 16 \Rightarrow -\dfrac{16}{2} = -8,
12\cdot(-4) = -48.
Somando:
F(-4)=\dfrac{64}{3} -8 -48 = \dfrac{64}{3} -56.
Escrevendo -56 com denominador 3: -56 = -\dfrac{168}{3}. Então
F(-4)=\dfrac{64-168}{3} = -\dfrac{104}{3}.
Agora a diferença:
\text{Área}=F(3)-F(-4)=\dfrac{45}{2} -\left(-\dfrac{104}{3}\right)=\dfrac{45}{2} + \dfrac{104}{3}.Á
Somando as frações com denominador comum 6:
\dfrac{45}{2} = \dfrac{135}{6},\quad \dfrac{104}{3}=\dfrac{208}{6},
\text{Área}=\dfrac{135}{6}+\dfrac{208}{6}=\dfrac{343}{6}.Á

Resposta

\dfrac{343}{6}

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