- Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas
e
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e determinar a área limitada pelas curvas
(parábola) e
(reta). Informações relevantes dadas pelo enunciado: os dois traçados são as funções
, e
. A resposta final esperada é a área da região comum entre essas duas curvas.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção (onde os dois gráficos se cruzam). Igualamos as expressões de
:
Passo a passo para resolver essa equação: trazemos tudo para o mesmo lado:
Fatoramos o polinômio:
Logo as raízes são
e
. Então os pontos de interseção são
e
. Podemos também calcular as ordenadas correspondentes (usando a reta, por exemplo):
Portanto os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva fica acima da outra no intervalo entre as interseções, para integrar “topo menos baixo”. Pegamos um ponto teste simples no interior do intervalo, por exemplo
:
Como
, a reta
é a função superior (topo) e a parábola
é a função inferior (fundo) para todo
entre
e
.
Passo 4
Recordando o procedimento: a área entre duas curvas
(embaixo) e
(embaixo) entre
e
é
Aqui
,
, topo
e fundo
. Portanto montamos a integral:
Vamos simplificar o integrando antes de integrar:
Então
Passo 5
Agora integramos termo a termo. Para uma função polinomial a primitiva é obtida elevando o expoente e dividindo, lembrando de aplicar coeficientes corretamente. Uma primitiva de
é
. Uma primitiva de
é
. Uma primitiva de
é
. Assim uma primitiva
do integrando é
Explicando: para
a primitiva é
; aqui aplicamos esse procedimento e mantivemos os sinais.
Passo 6
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliamos
.
Primeiro
:
Convertendo para frações com denominador
:
logo
Agora
:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Escrevendo
com denominador
:
. Então
Agora a diferença:
Somando as frações com denominador comum
: