1. Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}-\mathbf{4 x}+\mathbf{3} e \boldsymbol{y}=-\boldsymbol{x}+\mathbf{7}. (6 pontos)
\int_{-1}^{4} \int_{x^{2}-4 x+3}^{-x+7} d y d x=\frac{125}{6}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar e determinar a área limitada pelos traçados das curvas y=x^{2}-4x+3 e y=-x+7. As informações relevantes são:
  • A parábola y=x^{2}-4x+3.
  • A reta y=-x+7.
  • A região procurada é a região fechada onde as duas curvas se cruzam (ou seja, entre os pontos de interseção das curvas).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção é essencial porque eles dão os limites em x da região. Igualamos as duas expressões:
x^{2}-4x+3 = -x+7.
Reorganizando para formar uma equação quadrática:
x^{2}-4x+3 + x - 7 = 0
x^{2}-3x-4 = 0.
Fatorando:
(x-4)(x+1)=0,
logo as raízes são x=4 e x=-1. Para achar os pontos, calculamos y em um dos dois equações (dá o mesmo):
  • Para x=-1: y=-(-1)+7=1+7=8. Ponto (-1,8).
  • Para x=4: y=-4+7=3. Ponto (4,3).

Passo 3

Antes de montar a integral, precisamos saber qual curva está acima (top) e qual está abaixo (bottom) entre x=-1 e x=4. Testo com um valor interior, por exemplo x=0:
  • Para a reta: y_{\text{reta}}=-0+7=7.
  • Para a parábola: y_{\text{par}}=0^{2}-4\cdot0+3=3.
    Como 7>3, a reta está acima da parábola nesse intervalo. Portanto, para cada x entre -1 e 4 a altura da fatia vertical é y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}} = (-x+7) - (x^{2}-4x+3).

Passo 4

Fórmula prática: a área entre duas curvas, quando usamos fatias verticais, é
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(\text{top}(x)-\text{bottom}(x)\big)\,dx,Á
onde a e b são os pontos de interseção em x. Aqui a=-1 e b=4. Então montamos a integral
\text{Área}=\int_{-1}^{4}\big((-x+7)-(x^{2}-4x+3)\big)\,dx.Á

Passo 5

Simplificamos o integrando passo a passo:
(-x+7)-(x^{2}-4x+3) = -x+7 - x^{2} +4x -3.
Agrupando termos semelhantes:
= -x^{2} + (-x+4x) + (7-3) = -x^{2} +3x +4.
Portanto
\text{Área}=\int_{-1}^{4} \big(-x^{2}+3x+4\big)\,dx.Á

Passo 6

Integramos termo a termo usando a regra \int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
  • \int -x^{2}dx = -\dfrac{x^{3}}{3}.
  • \int 3x\,dx = \dfrac{3x^{2}}{2}.
  • \int 4\,dx = 4x.
Uma antiderivada é
F(x) = -\dfrac{1}{3}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} + 4x.
Agora avaliamos em 4 e em -1:
F(4) = -\dfrac{1}{3}\cdot 4^{3} + \dfrac{3}{2}\cdot 4^{2} + 4\cdot 4 = -\dfrac{64}{3} + 24 + 16 = -\dfrac{64}{3} + 40 = \dfrac{56}{3}.
F(-1) = -\dfrac{1}{3}\cdot(-1)^{3} + \dfrac{3}{2}\cdot(-1)^{2} + 4\cdot(-1) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{2} -4 = \dfrac{2}{6} + \dfrac{9}{6} - \dfrac{24}{6} = -\dfrac{13}{6}.
Subtraindo:
\text{Área} = F(4)-F(-1) = \dfrac{56}{3} - \left(-\dfrac{13}{6}\right) = \dfrac{56}{3} + \dfrac{13}{6} = \dfrac{112}{6} + \dfrac{13}{6} = \dfrac{125}{6}.Á

Passo 7

Interpretação final rápida: a região é limitada lateralmente por x=-1 e x=4, em baixo pela parábola y=x^{2}-4x+3 (abre para cima com vértice em x=2) e em cima pela reta y=-x+7. A área calculada com fatias verticais deu \dfrac{125}{6}. Vai dar certo na prova — respira, copia o processo e manda ver!

Resposta

\dfrac{125}{6}

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