- Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas
e
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar e determinar a área limitada pelos traçados das curvas
e
. As informações relevantes são:
- A parábola
. - A reta
. - A região procurada é a região fechada onde as duas curvas se cruzam (ou seja, entre os pontos de interseção das curvas).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção é essencial porque eles dão os limites em
da região. Igualamos as duas expressões:
Reorganizando para formar uma equação quadrática:
Fatorando:
logo as raízes são
e
. Para achar os pontos, calculamos
em um dos dois equações (dá o mesmo):
- Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto .
Passo 3
Antes de montar a integral, precisamos saber qual curva está acima (top) e qual está abaixo (bottom) entre
e
. Testo com um valor interior, por exemplo
:
- Para a reta:
. - Para a parábola:
.
Como, a reta está acima da parábola nesse intervalo. Portanto, para cada entre e a altura da fatia vertical é .
Passo 4
Fórmula prática: a área entre duas curvas, quando usamos fatias verticais, é
onde
e
são os pontos de interseção em
. Aqui
e
. Então montamos a integral
Passo 5
Simplificamos o integrando passo a passo:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto
Passo 6
Integramos termo a termo usando a regra
.
-
. -
. -
.
Uma antiderivada é
Agora avaliamos em
e em
:
Subtraindo:
Passo 7
Interpretação final rápida: a região é limitada lateralmente por
e
, em baixo pela parábola
(abre para cima com vértice em
) e em cima pela reta
. A área calculada com fatias verticais deu
. Vai dar certo na prova — respira, copia o processo e manda ver!