- Considere o eixo maciço de seção cilíndrica e densidade constante
delimitado pelos planos
,
e pelo cilindro
. Expresse a integral tripla, com os limites de integração adequados, que nos permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo
. Não é necessário calcular a integral. (7 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: expressar a integral tripla, com os limites de integração adequados, que permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo
. Informações dadas: densidade constante
; região delimitada pelo cilindro
(seção circular de raio
); pelos planos
(plano inferior) e
(plano superior). Não é necessário calcular a integral, apenas escrevê‑la com os limites corretos.
Passo 2
Fórmula do momento de inércia em relação ao eixo
: é a massa de cada ponto multiplicada pelo quadrado da distância ao eixo
, integrada sobre o volume. Com densidade
constante isso é
Aqui
é a densidade volumétrica (constante),
é o quadrado da distância do ponto
ao eixo
, e
é o elemento de volume.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque a região tem simetria circular. Em coordenadas cilíndricas:
O elemento de volume transforma como
(esse fator
é o jacobiano da mudança de variáveis). Substituindo
na fórmula do momento de inércia obtemos o integrando:
Expliquei: o
vem da distância ao eixo e o outro
vem do jacobiano, totalizando
.
Passo 4
Agora os limites de integração em cilíndricas. Do cilindro
segue
, portanto
. Como não há restrição angular,
percorre toda a volta:
. Para
a região está entre o plano inferior
e o plano superior
. Escrevendo o plano superior em termos de
usando
temos
. Logo o limite inferior de
é
e o superior é
. (Verificação rápida: como
e
, o máximo de
é
, então
, logo o limite superior é sempre maior que o inferior.)
Passo 5
Juntando integrando sobre
,
e
com o integrando
, a integral tripla que dá o momento de inércia em relação ao eixo
é