1. Considere o eixo maciço de seção cilíndrica e densidade constante \delta delimitado pelos planos y+z=6, z=2 e pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4. Expresse a integral tripla, com os limites de integração adequados, que nos permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo z. Não é necessário calcular a integral. (7 pontos)
\delta \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} \int_{2}^{6-r \operatorname{sen}(\theta)} r^{3} d z d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede: expressar a integral tripla, com os limites de integração adequados, que permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo z. Informações dadas: densidade constante \delta; região delimitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 (seção circular de raio 2); pelos planos z=2 (plano inferior) e y+z=6 (plano superior). Não é necessário calcular a integral, apenas escrevê‑la com os limites corretos.

Passo 2

Fórmula do momento de inércia em relação ao eixo z: é a massa de cada ponto multiplicada pelo quadrado da distância ao eixo z, integrada sobre o volume. Com densidade \delta constante isso é
I_{z}=\iiint_{V} \delta\,(x^{2}+y^{2})\,dV.
Aqui \delta é a densidade volumétrica (constante), x^{2}+y^{2} é o quadrado da distância do ponto (x,y,z) ao eixo z, e dV é o elemento de volume.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque a região tem simetria circular. Em coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z.
O elemento de volume transforma como dV = r\,dz\,dr\,d\theta (esse fator r é o jacobiano da mudança de variáveis). Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} na fórmula do momento de inércia obtemos o integrando:
\delta\,(x^{2}+y^{2})\,dV = \delta\,r^{2}\,(r\,dz\,dr\,d\theta)=\delta\,r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.
Expliquei: o r^{2} vem da distância ao eixo e o outro r vem do jacobiano, totalizando r^{3}.

Passo 4

Agora os limites de integração em cilíndricas. Do cilindro x^{2}+y^{2}=4 segue r\le 2, portanto 0\le r\le 2. Como não há restrição angular, \theta percorre toda a volta: 0\le \theta\le 2\pi. Para z a região está entre o plano inferior z=2 e o plano superior y+z=6. Escrevendo o plano superior em termos de r,\theta usando y=r\sin\theta temos z=6-y=6-r\sin\theta. Logo o limite inferior de z é 2 e o superior é 6-r\sin\theta. (Verificação rápida: como 0\le r\le 2 e -1\le\sin\theta\le1, o máximo de r\sin\theta é 2, então 6-r\sin\theta\ge 4>2, logo o limite superior é sempre maior que o inferior.)

Passo 5

Juntando integrando sobre \theta, r e z com o integrando \delta\,r^{3}, a integral tripla que dá o momento de inércia em relação ao eixo z é
I_{z}=\delta \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{2}^{\,6 - r\sin(\theta)} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Resposta

\delta \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{2}^{\,6 - r\sin(\theta)} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta

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